大家好!這是浙江衢州2021中考數學的選擇壓軸題,是一道關于一次函數圖像的經典問題。用一般的解法解這道題,非常繁瑣,步驟特别多。但是結合相似三角形的知識,就可以瞬間秒殺,感覺特别爽。我們先來看題目:
已知A, B兩地相距60km, 甲, 乙兩人沿同一條公路從A地出發到B地, 甲騎自行車勻速行駛3h到達, 乙騎摩托車, 比甲遲1h出發, 行至30km處追上甲, 停留半小時後繼續以原速行駛. 他們離開A地的路程y與甲行駛時間x的函數圖像如圖所示. 當乙再次追上甲時,距離B地( )
A. 15km;B. 16km;C. 44km;D. 45km
下面老黃先介紹應用一次函數知識的一般解法。這裡要多次運用待定系數法。為了描述方便,标記圖中的各個點。如圖:
隻要我們能求得點E的縱坐标,就可以知道答案。而點E是直線OC和直線BD的交點,因此可以通過求這兩條直線的解析式來得到點E的坐标。OC的解析式是很容易求得的。BD的解析式就有點麻煩了。因為隻有點D的坐标比較容易求得。而待定系數法一般需要兩個點的坐标。
不過我們觀察之後,可以發現,BD和AC是平行的,因此它們的斜率相同。隻要我們得到AC的解析式,就可以知道BD的斜率,結合點D的坐标,就可以完成這道題了。這就是逆向思維,整個過程中,我們需要求OC,AC和BD三條直線的解析式。接下來整理分析過程:
分析:如圖, 設直線OC的解析式為:y=k1x,
将(3,60)代入上式得:60=3k1, k1=20.
當y=20x=30時, x=1.5.
設直線AC的解析式為y=k2x+b1,
将(1,0), (1.5,30)代入上式得:
k2+b1=0, 1.5k2+b1=30, 解得k2=60, b1=-60,
可設直線BD的解析式為y=60x+b2,
将D(2,30)代入上式得:30=120+b2, b2=-90,
當20x=60x-90時, 解得x=9/4,
y=20×9/4=45,
兩人距離B地的距離d=60-45=15(km)。用這種方法,至少需要十幾分鐘才能解決。接下來介紹一種10秒鐘内秒殺的方法。
觀察圖像,可以發現,圖中有兩個三角形相似,就是三角形AOC和三角形DCE,因為它們有兩組邊互相平行,第三組邊在同一直線上。有這種關系的兩個三角形就相似。這又是一個課本外的定理,一定要掌握哦。
它們的相似比k=OA/CD=2, 因此它們的對應邊上的高比也是2。而三角形AOC在OA上的高等于30,三角形DCE在CD上的高就等于15。
最後别忘了,要求的距離d等于30減去這條高,得到的還是15千米。千萬不要因為兩個值一樣,就以為是可以互相替代的哦,這隻是巧合而已。
方法二的分析過程為:△AOC∽△DCE, 相似比k=OA/CD=2, h=30/k=15,d=30-h=15(km).
如果你有其它解法,不妨也分享出來。千萬不要因為有秒殺的方而,而忽略掉其它解法哦。這道題就分析到這裡,謝謝大家。
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