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中考數學壓軸題分析：雙動點産生的動點軌迹問題

本文内容選自2021年廣州市中考數學壓軸題，題目雙動點産生的運動軌迹問題，比較綜合、設計巧妙，值得研究．

【中考真題】

（2021·廣州）如圖，在菱形中，，，點為邊上的一個動點，且，與交于點；
當為中點時，求證：四邊形為平行四邊形；
若，求的長；
當點從出發運動到時，求點運動的軌迹長．

【分析】

（1）由點E為AB的中點，可以得到四邊形DFEC的一組對邊平行且相等，因此結論得證．

（2）幾何求值問題，可以考慮構造直角三角形用勾股定理解決．

（3）先确定軌迹，再求路徑長．

①思路一：延長AG交BC于一點M，易得點M為定點，因此點G在線段AM上運動；

②思路二：證明∠BAG為定值，如求其銳角三角函數值（如tan）可以得到為定值，則點G在線段上運動；

③思路三：建立平面直角坐标系，得到點G的坐标滿足直線解析式，那麼點G在線段上運動．

④思路四：如下圖，構造平行線．在BA上取一點M使得AM=1/2AB，連接DM，易得DG/GE=DC/EF=MA/AE，因此可以得到△AGE∽△MDE，那麼就可以得到AG始終平行于DM，則點G在線段上運動．

【答案】

解：∵為中點，∴，
∵菱形，∴，，
∴，
∴四邊形為平行四邊形．
如圖，過點作與，
∵菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
設，則，，
∴，，
在中，，
∴，
解得（舍去），．
∴．

如圖，連接并延長交于點，連接交于點，并連接，
∵，，
∴為等邊三角形．
∴．
∵∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴當點從出發運動到時，點始終在直線上運動，運動軌迹為線段，
∵當點與重合時，點與點重合；
當點與重合時，點為與的交點；
∴點運動的軌迹長為線段的長．
∵，
∴，
∴，
∴點運動的軌迹長．

另解：
如圖，以點為原點，射線為軸的非負半軸建立平面直角坐标系，
則點，，，．
設點的坐标為，則點的坐标為，
易得直線的解析式為，
直線的解析式為，
聯立并解得點的坐标為，
所以點的坐标滿足，即點的運動軌迹為線段．
當時，點的坐标為，
當時，點的坐标為．
∴點的運動軌迹長為．

本題壓軸一問考查動點軌迹的問題，題目的問法與2021年越秀區一模的壓軸題類似。隻是軌迹由弧變成直線，解法類似。

【總結】

凡是動點軌迹問題，先判斷軌迹的形狀，一般分為兩種：線段或弧．判斷時隻需取三個特殊點，如起點，中間點和終點．判斷形狀後再證明．

像本題這種運動軌迹為線段的問題，類似物理中的參照系，需要選擇一些固定的點或線，根據相對位置不變來判斷．

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