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中考數學壓軸題分析：定角定弦、瓜豆模型與動點軌迹問題

本文内容選自2021年連雲港中考數學壓軸題。題目考查動點軌迹問題，為大家常說的瓜豆模型。題目比較常規，值得研究。

【中考真題】

（2021·連雲港）在數學興趣小組活動中，小亮進行數學探究活動．
（1）是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1．求的長；

（2）是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2．在點從點到點的運動過程中，求點所經過的路徑長；

（3）是邊長為3的等邊三角形，是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3．在點從點到點的運動過程中，求點所經過的路徑長；
（4）正方形的邊長為3，是邊上的一個動點，在點從點到點的運動過程中，小亮以為頂點作正方形，其中點、都在直線上，如圖4．當點到達點時，點、、與點重合．則點所經過的路徑長為　　 ，點所經過的路徑長為　 　．

【分析】

（1）根據SAS即可得到結論。

（2）有了（1）中的結論，那麼本題就可以考慮用上面的方法證明全等，然後根據對應邊相等求出路徑長。

（3）還是與前面的類似，找到全等即可，可以先确定起點與重點，容易找到對應的三角形全等。

（4）根據圖形，連接CH，可以發現△ABF≌△CBH，那麼就可以得到CH與AF相等的。因為點F、G都在AE上，說明∠AFB=90°始終不變，那麼點F的軌迹為以AB為直徑的圓弧，同樣可以得到點H的軌迹為BC為直徑的圓弧。

易得AG⊥CH，AH⊥GH，那麼可以得到C、G、H三點共線，那麼∠AGC=90°，點G的軌迹為AC為直徑的圓弧。那麼确定起點與終點即可得到結論。
【答案】解：（1）如圖，和是等邊三角形，
，，，
，
，
，
；
（2）如圖2，連接，

由（1），
，，
，
，
，
又點在點處時，，
點在處時，點與點重合．
點運動的路徑長．
（3）如圖3，取的中點，連接，

，
，
，
，
，
和是等邊三角形，
，，
，
，
，
，，
，
又點在處時，，
點在處時，點與點重合．
點所經過的路徑的長；
（4）如圖，連接，，相交于點，取的中點，的中點，連接，，

，
點的運動軌迹為以點為圓心，長為半徑的圓上；
，
，即，
，
，
點在以點為圓心，長為半徑的圓上；
當點在處時，點，，重合，點和點重合；
當點在點處時，點和點重合，點與點重合；
連接，，

由上證明可得，，
，
點，，三點共線，
，
點是的中點，
是斜邊中線，
點在以點為圓心，長為半徑的圓上；
點所經過的路徑長；
點所經過的路徑長．
故答案為：，．


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