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中考數學壓軸題分析：等邊三角形與瓜豆模型（主從動點問題）

本文内容選自2021年十堰中考數學幾何壓軸題。題目以等邊三角形的動點為背景，涉及主從動點問題，也就是大家熟稱的“瓜豆模型”。

本題為2008年金華地區中考數學壓軸題改編，其實在2013年甘肅中考數學壓軸題中也出現過。具體大家可以看《中考數學壓軸題全解析》中垂直模型有關的章節，解法比較多樣。

【中考真題】

（2021·十堰）已知等邊三角形，過點作的垂線，點為上一動點（不與點重合），連接，把線段繞點逆時針方向旋轉得到，連．
（1）如圖1，直接寫出線段與的數量關系；
（2）如圖2，當點、在同側且時，求證：直線垂直平分線段；
（3）如圖3，若等邊三角形的邊長為4，點、分别位于直線異側，且的面積等于，求線段的長度．

【分析】

（1）根據全等進行證明即可，難度不大。

（2）根據垂直平分線的判定定理進行證明，隻需連接PQ，根據條件，可以證明△PBC≌△PBD，那麼就可以得到PC＝PD，BC＝BQ，即可得到結論。

（3）易得△APQ為等邊三角形，已知它的面積，那麼就可以确定等邊三角形的邊長，也就是AP的長。根據P、B在AC的異側，需要進行分類讨論。分類讨論前需要确定點P與點Q的軌迹再進行分析。

可以發現，當點P在l上運動時，點Q的軌迹如上圖所示，進而進行分類讨論即可。

【答案】解：（1）在等邊中，，，
由旋轉可得，，，
，
，即，
，
．
（2）在等邊中，，，
由旋轉可得，，，
，
，即，
，
，；
，
，，
，，
，
，
，
，即平分，
且點是的中點，即直線垂直平分線段．
（3）①當點在直線上方時，如圖所示，延長交于點，過點作于點，

由題意可得，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
設，則，
，
在中，，
，即，
解得或．即的長為或．
②當點在直線下方時，如圖所示，設交于點，過點作于點，

由題意可得，，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
設，則，
，
在中，，
，即，
解得負值舍去）．
綜上可得，的長為：或或．



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