中考數學壓軸題分析：面積平分問題
本文内容選自2021年鎮江中考數學壓軸題。題目以矩形為背景，考查中心對稱圖形的性質，進而研究圖形的面積平分線的問題，是一個比較好的探究素材，大家可以仔細研究一下。
【中考真題】
（2021·鎮江）如圖1，，，，為鉛直方向的邊，，，為水平方向的邊，點在，之間，且在，之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，記作“圖形”．若直線将圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線為該圖形的面積平分線．
【活動】
小華同學給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2，将這個圖形分成矩形、矩形，這兩個矩形的對稱中心，所在直線是該圖形的面積平分線．
請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕迹）
【思考】
如圖3，直線是小華作的面積平分線，它與邊，分别交于點，，過的中點的直線分别交邊，于點，，直線 （填“是”或“不是” 圖形的面積平分線．
【應用】
在圖形形中，已知，．
（1）如圖4，．
①該圖形的面積平分線與兩條水平的邊分别相交于點，，求長的最大值；
②該圖形的面積平分線與邊，分别相交于點，，當的長取最小值時，的長為 ．
（2）設，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果隻有與邊，相交的面積平分線，直接寫出的取值範圍 ．
【分析】
【活動】根據提示，分成兩個矩形，或者補成兩個矩形，連接對角線即可。
【思考】由于O1O2會平分，說明分成的左右兩部分面積相等，又由于PQ與O1O2所成的兩個三角形是全等三角形，所以割補一下也是相等的。難度不大。
【應用】（1）①由于PQ與水平的兩邊相交。可以發現當P與B重合的時候，才能使得PQ最長，此時利用面積平分，得到PQ的值即可。
②根據垂線段最短，當GH與BC平行時GH的長最小。
（2）本小題是壓軸部分，有一定難度。題目要求在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中隻有與AB和CD相交。那也就是說不能與EF相交，我們可以嘗試畫出與EF相交的情況。如下圖所示：
此時，上面的圖形面積與下方的面積相等。如果要使得不與EF相交，線需要往下移動。那麼說明上方的面積必然要小一點，才需要向下移動。
因此我們可以看下圖，當綠色部分的面積小于下方面積的時候，必然不可能存在上圖的情況。
再用t表示AF與CD的關系，然後根據面積大小關系确定t的範圍即可。
【答案】解：【活動】如圖1，直線是該圖形的面積平分線；
【思考】如圖2，，
，
，
點是的中點，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直線是圖形的面積平分線．
故答案為：是；
【應用】
（1）①如圖3，當與重合時，最大，過點作于，
圖形的面積，
是圖形的面積平分線，
梯形的面積，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即長的最大值是；
②如圖4，當時最短，過點作于，
設，則，
根據上下兩部分面積相等可知，，
解得，即；
故答案為：；
（2），
，
在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，隻有與邊，相交的面積平分線，
如圖5，直線将圖形分成上下兩個矩形，當上矩形面積小于下矩形面積時，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，隻有與邊，相交的面積平分線，
即，
，
，
，
．
故答案為：．
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