本文内容選自2021年長春中考數學幾何壓軸題。通過軸對稱,産生了動點軌迹(定點定長)為圓的圖形,再研究定角定弦的角度問題。
題目設計比較巧妙,難度不小,可以深入研究。
【中考真題】
(2021·長春)如圖,在中,,,,點為邊的中點.動點從點出發,沿折線以每秒1個單位長度的速度向點運動,當點不與點、重合時,連結.作點關于直線的對稱點,連結、.設點的運動時間為秒.
(1)線段的長為 ;
(2)用含的代數式表示線段的長;
(3)當點在内部時,求的取值範圍;
(4)當與相等時,直接寫出的值.
【分析】
(1)先根據勾股定理求AC的長,再得一半的長。
(2)分為在AB或BC上兩種情況讨論,BP與P的路程之差的絕對值即可。
(3)根據軸對稱的性質,可以發現AD=A′D,點A′到定點D的距離始終為定長AD的長度。那麼點A′的軌迹即為以點D為圓心,AD為半徑的圓。
由于點A′在△ABC的内部,那麼就可以先畫出圖形,再确定臨界點即可。也就是點A′在AB上或與C重合時即可。
(4)∠B為定角,雖然角度非特殊值,但是其三角函數值是可以求得的。那麼點A與點D是定點,産生的角∠AA′D為定角,那麼就是大家常說的定角定弦問題。隻需以AD為弦構造一個圓,使得圓心角為∠B的2倍即可。
如下圖所示:
以及還有另外一種對稱的情況:
再根據角度相等,利用相似或三角進行求解即可。
【答案】解:(1)在中,由勾股定理得:
,
.
故答案為:2.
(2)當時,點在線段上運動,,
當時,點在上運動,.
綜上所述,.
(3)如圖,當點落在上時,,
,,,
在中,,
.
如圖,當點落在邊上時,,
,,,
在中,,
.
如圖,點運動軌迹為以為圓心,長為半徑的圓上,
時,點在内部.
(4)如圖,過點作于點,
當時,
,
,
,
,
,
.
如圖,當時,
,
,
,
,
,
在中,,,,
,
.
綜上所述,或.
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