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中考數學壓軸題分析：矩形翻折問題

本文内容選自2021年荊州中考數學幾何壓軸題。題目以矩形中的折疊為背景，全等與相似有關的知識，難度一般。

【中考真題】

（2021·宜昌）如圖，在矩形中，是邊上一點，，，垂足為．将四邊形繞點順時針旋轉，得到四邊形，所在的直線分别交直線于點，交直線于點，交于點．所在的直線分别交直線于點，交直線于點，連接交于點．
（1）如圖1，求證：四邊形是正方形；
（2）如圖2，當點和點重合時．
①求證：；
②若，，求線段的長；
（3）如圖3，若交于點，，求的值．

【分析】

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

（2）①證明全等即可：△GCB′≌△DCF′。

②根據相似可以得到B′K與CF′的比值，然後得到B′K與B′C的比值，進而就可以求出各邊的長，再求KG與KP的長即可，難度不大。

（3）根據BM∥F′B′，可以考慮用相似，但是沒有相似三角形，因此需要延長B′F′與GH相交。根據tan∠G的值，可以得到各個邊的比例關系，設未知數表示出兩個三角形的面積即可得到面積比值。
【答案】（1）證明：如圖1中，

在矩形中，，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形．
（2）①證明：如圖2中，

，
，，
，
，，
，
．
②解：設正方形的邊長為，
，
△△，
，
，
在△中，，
，
，
由，可得，

，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
．
（3）解：如圖3中，延長交的延長線于．

，，
，，
，
設．，則，
，
，
△△，
，
，，
，
，
，
△△，
，

，
，
，
，
．


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