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平行線的性質典型問題分析

例題1.一大門欄杆的平面示意圖如圖,BA垂直地面AE于點A,CD平行于地面AE.若∠BCD=150°,則∠ABC=________度.



解析:如圖,過點B作BM∥AE.因為CD∥AE,所以CD∥BM∥AE,所以∠1+∠BCD=180°,∠2+∠BAE=180°.因為∠BCD=150°,∠BAE=90°,所以∠1=30°,∠2=90°,所以∠ABC=∠1+∠2=120°.


例題2.如圖,點D在射線AE上,AB∥CD,∠CDE=140°,求∠A的度數.

解:因為∠CDE=140°,所以∠CDA=180°-140°=40°. 因為AB∥CD,所以∠A=∠CDA=40°.
例題3.如圖,直線AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°,求∠2的度數.

解:如圖,因為直線AB∥CD,所以∠3=∠1=54°,∠2=∠5. 因為BC平分∠ABD,所以∠4=∠3=54°, 所以∠2=∠5=180°-54°-54°=72°.
例題4.如圖,EF∥AD,∠1=∠2,猜想∠BAC與∠DGA之間的數量關系,并說明理由.


解:∠BAC+∠DGA=180°. 理由:因為EF∥AD,所以∠2=∠BAD. 又因為∠1=∠2,所以∠1=∠BAD, 所以AB∥DG, 所以∠BAC+∠DGA=180°. 例題5 .如圖,一條鐵路修到一個村子邊時,需拐彎繞道而過,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行,那麼∠C應為多少度?


解:如圖,過點B作直線BE∥CD. 因為CD∥AF,所以BE∥CD∥AF,所以∠ABE=∠A=105°, 所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°. 又因為BE∥CD,所以∠CBE+∠C=180°,所以∠C=150°.

例題6.有一天,許威同學用“幾何畫闆”畫圖,他先畫了兩條平行線AB,CD,然後在平行線間畫了一點E,連接BE,DE後(如圖K-19-17①),他用鼠标左鍵點住點E,拖動後,分别得到如圖②、圖③、圖④等圖形,這時他突然一想,∠B,∠D與∠BED之間的度數有沒有某種聯系呢?接着許威同學通過利用“幾何畫闆”的“度量角度”和“計算”功能,找到了這三個角之間的關系. (1)你能探讨出圖①至圖④各圖中的∠B,∠D與∠BED之間的關系嗎? (2)請從所得的四個關系中選一個,說明它成立的理由. 解:(1)圖①中,∠BED=∠B+∠D;圖②中,∠BED=360°-∠B-∠D;圖③中,∠BED=∠D-∠B;圖④中,∠BED=∠B-∠D. (2)(答案不唯一)選圖①中的∠BED=∠B+∠D. 說明理由如下: 過點E在∠BED的内部作EF∥AB. 因為AB∥CD,所以EF∥CD. 因為AB∥EF,所以∠B=∠BEF. 因為EF∥CD,所以∠D=∠DEF, 所以∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即∠BED=∠B+∠D.

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