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立體幾何問題到底建系好，還是幾何法好，2022高考數學真題分析

立體幾何關于線面夾角或者面面夾角的問題，通常有兩種常用的解法，一種是通過建立坐标系，用向量的知識解。這種方法套路性很強，掌握之後，相當于手握一把解決此類問題的萬能鑰匙。另一種當然是幾何法了，找到該夾角，在夾角所在的直角三角形中，利用三角函數的基本概念解決起來，可能更加簡便。幾何法的主要難點在于找到這個夾角。通常受限于空間想象力，這個夾角都很難被找到。或者找到了，又很難湊足求解的條件。

那麼底是建系向量法好，還是幾何法好呢？其實這個問題并不矛盾的。因為建系向量法，需要找到一個适合建系的點，作為原點，還需要三條“兩兩互相垂直”的直線，作為空間坐标系的三條軸。因此，我們在找建系的位置時，大可以同時找一找，這個夾角。如果發現這個夾角太難找到，就立即放棄幾何法，專心攻破建系向量法。如果夾角很容易找到，又何必去建立坐标系呢？比如下面這道2022高考數學理科全國甲卷的立體幾何問題，它的線面夾角就非常容易找到。隻是找到了，你未必能意識到，它就是你要找的線面夾角。這是怎麼回事呢？我們先來看題吧！

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD//AB, AD=DC=CB=1，AB=2，DP=根号3.

(1)證明：BD⊥PA；

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

分析：(1)運用逆向思維，想要證明BD垂直于PA，可以通過證明BD垂直于平面PAD，而PD垂直于BD，所以隻要證明BD垂直于AD就可以了。為此，需要取AB的中點E，并連接CE，DE，就可以得到菱形BCDE，和平行四邊形ADCE，從而證明AD垂直于BD了。

(2)如果建系的話，就以D為原點，BD為x軸，AD為y軸，PD為z軸。也是挺直接的。不過PD和平面PAB的線面夾角也是很容易找到的。隻要取AE的中點F，即AB靠近A點的那個四等分點。連接DF和PF，那麼，角DPF就是我們要找的線面夾角。

這是因為三角形ADE易證一個等腰三角形，AE是底邊，所以DF垂直于AB，又PD垂直于AB，所以AB垂直于平面PDF。隻要過D作DG垂直于PF于點G，那麼DG就同時垂直于AB，也就垂直于平面PAB，所以角DPF就是PD和平面PAB的線面夾角。因為它符合線面夾角的定義。

然而我們并不需要作出DG來，因為三角形PDF是直角三角形，所以我們可以直接求這個線面夾角的正弦值了。

證明：(1)取AB的中點E，連接CE，DE，則

BE=AE=AB/2=1=CD=CB，又CD//AB,

∴四邊形BCDE是菱形. 四邊形ADCE是平行四邊形，

∴BD⊥CE，CE//AD,∴BD⊥AD,

又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PD,

∴BD⊥平面ADP,

又PA⊂平面ADP，∴BD⊥PA.

(2)取AE的中點F, 連接DF, PF, 則AF=AE/2=1/2.

∠DPF就是PD與平面PAB所成的角.

AD=AE=DE=BC=1, ∴DF=根号3 AF=根号3/2.

PD⊥DF, ∴PF=根号(PD^2+DF^2)=根号15/2.

sin∠DPF=DF/PF=根号5/5.

當然，這不表示建系法不重要，兩種方法我們都要掌握。老黃再嘗試用建系法解一解，看看這道題的兩種方法是不是同樣簡便。

(2)方法2：以D為原點，BD為x軸，AD為y軸，PD為z軸建立坐标系，則

A(0,1,0), P(0,0,根号3)，設B(b, 0,0)，由根号(b^2+1)=2，解得b=根号3(舍去負值).

向量PA=(0,1,-根号3)，向量AB=(根号3,-1,0)，

設平面PAB的法向量為：n(x,y,z)，

則 y-根号3 z=0,根号3x-y=0.取y=根号3，則z=1, x=1. 【y可以取0之外的任意實數.】

向量DP=(0,0,根号3)，

記向量n與向量DP的夾角為θ，則cosθ=n*DP/(|n|*|DP|)=根号3/根号(15)=根号5/5.

即PD與平面PAB所成的角的正弦值為根号5/5.

那麼這兩種方法，你到底更喜歡哪一種呢？

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