如圖,在三角形ABC的BC邊上取一點O,以點O為圓心,OC為半徑畫圓。圓O與邊AB相切于點D,AC=AD,連接OA交圓O于點E,連接CE,并延長交線段于點F。
(1)求證AC是圓O的切線
(2)若AB=10,tanB=4/3,求圓O的半徑
(3)若點F是AB的中點,試探究BD+CE與AF的數量關系,并說明理由
這是成都市中考的數學真題,綜合性強,難度不小,值得學習研究。
分析:(1),要證明AC是切線,就是證明AC⊥OC。
觀察圖形,利用AD=AC的條件,連接OD,顯然有△ACO≌△ADO(三邊相等),從而得證。
(2)連接CD,設OB與圓O的交點為G,如圖
顯然CD⊥AO,同時CD⊥DG(直徑所對的圓周角為直角),
所以△DGB∽△AOB,
因為tanB=4/3,在三角形ODB中,令OD=4x,則DB=3x,BO=5x,BG=x,
因為BG/BO=DB/AB,即x/5x=3x/10,解得x=2/3
所以半徑為4x=8/3。
(3)連接ED,如圖
由第一問可知:ED=EC,∠CEO=∠DEO,
因為OC=OE=OD
∠OCE=∠CEO=∠OED=∠ODE,
所以∠DEF=180°-2∠ECO。
在直角三角形ABC中,F是斜邊中點,
所以CF=AF=BF,所以∠FCB=FBC,
在三角形FBC中,∠CFB=180°-2∠FCB
即∠DEF=∠DFE
所以DE=DF=EC
由此可得AF=BF=CE+BD。
小結:本題綜合性還是比較強,在中考題中算是難度較大的壓軸題。
有話要說...