微專題：與圓有關的比例線段
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微專題：與圓有關的比例線段
01
問題
背景
最近同學們在學習圓的過程中遇到這樣一個問題：
如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交弦AB于點P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求OC的長。
同學們利用垂徑定理和勾股定理構造了等量關系，從而求出OC的長。
除了上述方法，我們還有沒有更簡單的解法呢？與圓有關的線段有哪些特殊關系呢？讓我們一起來探索：與圓有關的比例線段！
02
新知
探索
一、相交弦定理
1、在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，則PA、PB、PC、PD之間有什麼關系？
相交弦定理：圓内兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
相交弦定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
二、切割線定理
2、在⊙O 中，若PA是切線，PCD是割線,則PA、PC、PD有什麼等量關系？
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
三、割線定理
3、在⊙O 中，若PAB、PCD是割線,則PA、PB、PC、PD有什麼等量關系？
割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
03
拓展
思考
請同學們運用我們探索出相關定理，嘗試解決最初的問題：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交弦AB于點P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，求OC的長。
解：延長CO交⊙O于點D,設CO為x，則OP=x-2，PD=2x-2，
∵PA.PB=PC.PD
即4×6=2（2x-2）
∴x=7，即OC=7。
思考：若在⊙O中，CD為直徑，CD=10，弦AB、CD相交于點P,你能求出AP.PB的最大值麼？歡迎留言分享你的答案和思路。
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