老黃自己是最怕空間幾何問題的,因為老黃的空間想象能力幾乎等于0. 不過學習就是這樣,必須要迎難而上,這樣才能真正鍛煉自己的能力。隻是高考這樣的立體幾何問題,真的是有一道就夠了,這也忒燒腦了啦!看看這道二面角問題:
如圖, 在圓柱OO1中,四邊形ABCD是其軸截面,EF為⊙O1的直徑,且EF⊥CD,AB=2,BC=a(a>1).
(1)求證:BE=BF;
(2)若直線AE與平面BEF所成角的正弦值為√6/3, 求二面角A-BE-F平面角的餘弦值.
【第一小題按慣例,都是送分的,老黃就不羅嗦了,如果連第一小題都看不懂,第二小題解析了,也不會看得懂的】
(1)證明:由AD⊥⊙O1, 有EF⊥AD,
又EF⊥CD,∴EF⊥平面ABCD,
連接BO1, 則BO1⊂平面ABCD,∴EF⊥BO1,
又EO1=FO1,∴BE=BF.
【第二小題有三個關鍵,一是找到直線AE與平面BEF所成的角;二是找到二面角A-BE-F的平面角;三是求a值。特别是第三點,有可能會被遺漏掉,如果結果含有a,肯定要被扣掉大部分的分數的】
(2)解:過A作AG⊥BO1于點G ,則AG⊥平面BEF,【因為AG同時還垂直于EF】
連接EG,則sin∠AEG =AG/AE=根号6 /3 ,【角AEG就是直線AE與平面BEF所成的角】
過A作AH⊥BE于點H ,連接GH,∠AHG就是二面角A-BE-F的平面角, 【過程雖然看似簡單,但這裡面含着找二面角的重要方法,一定要好好領會,掌握起來哦。這裡GH也垂直于BE,且在平面BEF内】
連接CE,則CE=根号2CO1=根号2AB/2=根号2,
在Rt△BCE中,BE=根号(BC^2+CE^2)=根号(a^2+2)=AE.【BE=AE與(1)的結論同理】
連接AO1, 則AO1=BO1=根号(BC^2+O1C^2)=根号(a^2+1). 【終于把輔助線全部作完了】
AG·BO1=BC·AB,【左邊是三角形AO1B面積的兩倍,右邊是矩形ABCD的面積,它們是相等的】
AG=BC·AB/BO1=2a/根号(a^2+1),
又AG=根号6AE/3=根号(6a^2+12)/3=2a/根号(a^2+1), ∴a=根号.【a還有三個解,都不合理,直接被舍去了】
所以BE=AE=2=AB,AG=2根号6/3,
AH=根号3 BE/2=根号3【這是等邊三角形ABE的高AH與邊BE的數量關系】
在Rt△AGH中,GH=根号(AH^2-AG^2)=1/根号3,
所以cos∠AHG=GH/AH=1/3.
别說解決了,這樣的題想看明白答案都挺有難度的,您覺得呢?
有話要說...