中考壓軸題中常見一類題目,條件或者問題中含有一個角是另一個角的兩倍,這樣的角度問題我們特歸納為倍角問題。
《漁家傲·秋思》 範仲淹 塞下秋來風景異,衡陽雁去無留意。 四面邊聲連角起,千嶂裡,長煙落日孤城閉。 濁酒一杯家萬裡,燕然未勒歸無計。 羌管悠悠霜滿地,人不寐,将軍白發征夫淚。如圖,在RtΔABC中,AC=9,BC=8,AE=BF=5,問∠FAC+∠EBC=?并證明。
解題障礙:此題除了有一個90°外并沒有提及其他角度,最後要求證角度,所以可以猜測最後結果為特殊角,但是證明卻是一個難點。
如圖,添加輔助線EF,可由RtΔEFC得到EF=5,然後形成兩個等腰三角形ΔAEF和ΔBEF,這樣利用導角,2倍的∠FAC+∠EBC等于90°,利用整體思想即可求出答案45°.
本題并不難,但是引出了一個很好的倍角問題的解決方式,那就是構造等腰三角形。
其次,此題還可以進一步推演,推出以下經典數學模型:(江蘇于新華老師首創)
這就是“12345模型”,為了更好識記此模型,我們可以利用下圖:
從上圖還可以得到“123模型”。同理,利用這樣一個方法,還可以得到很多角度公式,這裡就不一一叙述了。特注:以上問題都有多種解法,不過主要分為兩種:角分線或者構造等腰(8種);基本思想還是把倍半角轉化為等角來處理。
最後一小問除巧構等腰化半為倍外,後用了不常見的SSS證全等,構思很巧。畫圖不易觀察到。
此題巧用向外延長構造等腰化倍為半,同時倍長中線,最後還有一巧,等量代換導邊,很厲害。
此題要利用到内心,三點共圓,不過也存在構造等腰化半為倍。不用共圓法直接構等腰好像行不通。
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