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角度問題之倍角問題

中考壓軸題中常見一類題目,條件或者問題中含有一個角是另一個角的兩倍,這樣的角度問題我們特歸納為倍角問題。

《漁家傲·秋思》 範仲淹 塞下秋來風景異,衡陽雁去無留意。 四面邊聲連角起,千嶂裡,長煙落日孤城閉。 濁酒一杯家萬裡,燕然未勒歸無計。 羌管悠悠霜滿地,人不寐,将軍白發征夫淚。



基本問題

如圖,在RtΔABC中,AC=9,BC=8,AE=BF=5,問∠FAC+∠EBC=?并證明。




解題障礙:此題除了有一個90°外并沒有提及其他角度,最後要求證角度,所以可以猜測最後結果為特殊角,但是證明卻是一個難點。


動圖賞析:
解題之道:整體思想;居高臨下 解題之術: 1、構造等腰三角形,形成倍角。 2、高中三角函數倍角公式。 解題之本: 等腰三角形判定和性質,三角函數等相關知識。
思路描述:

如圖,添加輔助線EF,可由RtΔEFC得到EF=5,然後形成兩個等腰三角形ΔAEF和ΔBEF,這樣利用導角,2倍的∠FAC+∠EBC等于90°,利用整體思想即可求出答案45°.

本題并不難,但是引出了一個很好的倍角問題的解決方式,那就是構造等腰三角形。

其次,此題還可以進一步推演,推出以下經典數學模型:(江蘇于新華老師首創)


這就是“12345模型”,為了更好識記此模型,我們可以利用下圖:

從上圖還可以得到“123模型”。同理,利用這樣一個方法,還可以得到很多角度公式,這裡就不一一叙述了。



問題生長
問題:條件中含有倍角關系怎麼辦?

問題:問題中含有倍角關系怎麼辦?

問題:圖中含有倍角關系呢?

特注:以上問題都有多種解法,不過主要分為兩種:角分線或者構造等腰(8種);基本思想還是把倍半角轉化為等角來處理。



最後一小問除巧構等腰化半為倍外,後用了不常見的SSS證全等,構思很巧。畫圖不易觀察到。



問題:由倍角關系推出邊的倍數關系。 四邊形ABCD中,AB⊥BC, E在BC上,ED=EC, AE∥CD,∠EDA=2∠ACB,求證:2BE=AD

此題巧用向外延長構造等腰化倍為半,同時倍長中線,最後還有一巧,等量代換導邊,很厲害。



問題:倍角問題和圓綜合。 如圖,已知∠BDC=2∠CBD, ∠ACB=30°,∠ABD=60°,求證AB=CD。

此題要利用到内心,三點共圓,不過也存在構造等腰化半為倍。不用共圓法直接構等腰好像行不通。



問題:倍角問題和格點問題綜合。



中考真題
(來源于:有一點數學公衆号)











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