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一道幾何題,求正方形内一點和正方形兩頂點所形成的角

一道幾何題,求正方形内一點所形成的角

已知P是正方形ABCD内一點,有PA=1, PB=2, PC=3, 求角∠APB的大小。

解:将正方形繞着B點反時針旋轉90度, 那麼A點落在A’點,D點落在D’點,點C與點A重合,P點落在P’點,這樣的話B點沒有動, C點跑到了A點,與A重合。可以得出下列圖形,然後連接PP’。

很容易證明△APB全等于△A’P’B, 這樣可以推出:

∠ABP=∠A’BP’.

90°=∠A’BA=∠A’BP’+∠ABP’

=∠ABP’+∠ABP

根據勾股定理:

=+

所以:=4+4=8

在三角形APP’中,三個邊AP=1, PP’=, AP’=3,

恰好滿足=+

根據勾股定理的逆定理,可知∠APP’=90°.

另外在前面已經證明的直角三角形PBP’中有PB=P’B,

所以∠P’PB=45°

因而∠APB=∠APP’+ ∠P’PB

=90°+ 45°

=135°

以上這種解法在等邊三角形中也适用。

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