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趣味幾何｜構造一線三等角、結合不定方程求解反比例函數k值

原題重現

如圖，平面直角坐标系中放置RT△PEF，∠E=90°，EP=EF；△PEF繞點P（-1，-3）轉動，PE、PF所在直線分别交y軸、x軸正半軸于點B（0，b），A（a，0），作矩形AOBC，雙曲線y=(k/x)（k>0）經過點C，當a，b均為正整數時，k= .

思路解析

1、P點為定點，∠EPF=45°為定角；

2、△EPF繞點P旋轉，則A、B、C均為動點；

3、則k值随着點C的變化而變化；

4、限定條件：a、b均為正整數；

5、結論：等腰RT△EPF為僞條件，真正有用的條件為∠EPF=45°，如何根據45°角及定點P導出a、b的數量關系，再根據a、b為正整數值求出k值。

解題過程

1、首先看到45°角，可以聯想到一線三等角的運用，所以構造輔助線如下圖所示；

2、即構造等腰RT△BKG和等腰RT△AHD，可以得到△BGP∽△PDA；

3、找出相似三角形對應邊之間的關系；

則有：PG=b+2、BG=√2(b+3)、AD=3√2、PD=4+a

所以：PG:BG=AD:PD；

（b+2）/√2(b+3)=3√2/（4+a）

a=2+6/（b+2）

因為a、b為正整數，所以b=1,a=4；或者4=1,a=3；

所以k=4或者k=12

總結：

1、緊抓45°角構造一線三等角；

2、限定條件：正整數解；

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