信号與系統：沖擊函數匹配法是如何求解0-到0 狀态的跳變值的？
最近在給大三本科學生講授信号與系統課程中，學生普遍反映0-到0+狀态的跳變值不會求，繼而零狀态響應不會求，這是沖激函數匹配法沒有搞懂。
查閱資料中，網上解釋的也很淩亂，沒有系統性的回答，很多學生仍然很迷茫，既然沒有人解決，那就寶刀君親自操刀做這個苦活累活吧！
今天寶刀君重點就解決此問題，希望備考專業課《信号與系統》的學生，讀完有所收獲，謝謝！
以下是知乎對應回答：
和樓主一樣，我也在學習過程中遇到了類似的問題。
經過一番查找思考摸索，寶刀君覺得對該問題有了新的認識，今天就不請自來，将我近期對于此問題的研究結論寫下來，供大家學習時參考。
這是在查找“沖擊函數匹配法”時，發現大多數學生都有疑問，請看如下圖：
該問題截止到2020年3月13日仍然無人解答
下面，我将闡述自己對于此問題的理解，可能有點長，但還是希望大家耐心閱讀：
寶刀君将從以下幾個方面展開講解，分别是：
1、為什麼會産生跳變？（沖激函數匹配法是為了解決什麼問題）
2、沖擊函數匹配法和奇異函數平衡分别是什麼？有什麼關系？
3、沖擊函數匹配法的理論基礎是什麼？
4、沖激函數匹配法的應用（典型例題講解：理論推演+步驟解析計算）
1、為什麼會産生跳變？
大家不放思考下，沖激函數匹配法這個詞，我們是在學習什麼知識點時聽到的呢？它是為了解決什麼問題引入的呢？
沒錯，就是為了解決《信号與系統》課程中“0-狀态到0+狀态時，系統會不會發生跳變”時引入的！
那麼，一個系統，會不會發生跳變？
說的完整一些，一個系統，在加入信号後，系統的狀态會發生跳變嗎？
以一個簡單電路為例：
系統在加入階躍信号前，Uc(0-)=0，即系統起始狀态為0、儲能為0。
對a圖而言，系統加入階躍信号後，開始慢慢給電容充電，于是電容兩端的電壓逐步從0開始增大。對b圖而言，系統加入階躍信号後，由于電容兩端電壓不能突變，于是在0時刻電阻R兩端的電壓就是輸入信号的電壓值，然後電容開始慢慢充電，電阻兩端的電壓逐步被分壓，開始慢慢減小。
以上這個電路說明什麼呢？
說明信号的狀态是會受到輸入信号的影響的，說明在輸入信号有跳變的時候會引起輸出信号在零點前後的突變。
說到這裡，
有些學生可能不大喜歡這種分析思路，
那寶刀君嘗試用常見公式解釋下。
電容兩端的電壓公式，這個想必大家都不陌生吧？
我們把上面這個式子改寫下，寫為：
接下來，當我們取t=0+時，則上式變為：
其中第1項就是Uc（0-），代表的是在加入信号之前系統的狀态（初始儲能）。第2項代表從0-到0+狀态是否有跳變。第3項計算出來是0，為啥呢？因為第3項此時的上下積分限一緻，則積分為0。
注意，此時一定産生跳變嗎？
未必！
還要看什麼？
要看第2項的被積函數是連續的還是間斷的！
如果ic（t）是連續的，例如取e^2t，連續函數在0-到0+區間不會發生跳變，積分為0。但如果ic(t)是不連續的函數，是存在有間斷點的函數，則就要發生跳變了。此時0-和0+之間差一個第2項積分。
一般來講，當電路中存在沖激電流、階躍電壓，或者說沖激電壓、階躍電流這樣的激勵信号時，系統在0-到0+的狀态就會發生跳變。
那麼這種跳變值怎麼求呢？
沖激函數匹配法就是為了解決這個問題誕生的，即通過已知0-狀态值求0+狀态值。這就是沖擊函數匹配法的引入背景。
2、沖擊函數匹配法和奇異函數平衡分别是什麼？有什麼關系？
其實，沖擊函數屬于奇異函數中的一種。
什麼叫奇異函數呢？
鄭君裡教授的信号與系統第3版課本裡給出了這樣的定義：函數本身有不連續點（跳變點）或其導數與積分有不連續點的情況，這類函數稱為奇異函數或奇異信号。
在《信号與系統》課程中，我們需要重點研究哪些奇異函數呢？
常見的是下面這些：階躍信号、沖激信号、沖激信号的一階導（沖激偶信号）、沖激信号的二階導。
我們關心的，是這幾個奇異函數信号在0-到0+之間的關系，如下（這裡參考的是清華大學卓晴老師的課件）：
上面這個圖，
根據教學實際情況看，
好多學生不明白為什麼階躍函數在0-到0+區間積分為0？
其實很好理解，因為階躍函數是有上下界的函數,也就是有限值。而積分區間從0-到0+,這是長度為零的區間，有限值在長度為零的區間上積分當然為0。
除了上面這三個式子，我們還要定位一個新的函數，它長得跟階躍函數很像，但卻不是階躍函數，它叫做“相對單位跳變函數”，即：
這個函數特殊的地方在于：它的定義域很窄，隻是描述0-到0+這個區間，也就是隻描述零點附近。
它的性質有2個，分别是：
相對單位跳變函數的第1條性質，說明該信号經過積分，在0點附近就變成連續信号了，積分值為0。
相對單位跳變函數的第2條性質是說：如果在零點附近存在沖激信号，信号做積分後在零點會存在這種跳變，一個△u(t)就是 一個單位的 相對單位跳變量。
注意了，相對單位跳變函數，它在我們用沖激函數匹配法中，會反複的用到！！
以上講解，你已經明白沖擊函數和奇異函數之間的關系了，那麼沖擊函數匹配法和奇異函數平衡法，也沒多大的區别。沖擊函數匹配法就是奇異函數平衡法中的一種，你要是把沖擊函數匹配法叫做奇異函數平衡，也沒啥問題。
事實上，沖擊函數匹配法，也稱作奇異函數匹配法、沖擊函數配平法，都一個意思，就是指的方程兩端的函數前面的系數要保持相等。
舉個簡單例子：
上面這個式子，通過左右兩端對比，你肯定可以秒算出來a,b,c的值，這其實就是所謂的沖擊函數匹配法。
說白了，就是方程兩端對應項相等。
我們以前用的是x^2類似這樣的式子，而現在隻不過是換成了沖擊函數，或者沖擊函數的導數，現在讓這些函數前面的系數兩端保持相等就行了。
3、沖擊函數匹配法的理論基礎是什麼？
沖擊函數匹配法的理論基礎有2個，一個是對于描述系統的微分方程，沖激函數的引入解決了函數在跳變點處導數的存在問題，從而使得微分方程在整個時間域内都成立。二是由于沖激函數的存在，意味着輸出項的各階導數中，有些在0點附近有跳變，根據這些跳變量，我們可以很方便的來求系統的零狀态響應的解。
理論基礎這裡，初學者可以暫且不管，待學習完雙零響應（零輸入響應、零狀态響應）後，再回來重溫體會。
4、沖激函數匹配法的應用
下面講講具體的沖擊函數匹配法的求解過程。
在利用沖擊函數匹配法做的過程中，首先将激勵信号：沖激信号代入到微分方程的右端，确定沖激信号的最高微分階次k，據此可推出方程左端的最高微分項也應該包含沖激信号的k次導數項，寫出它的一般式，然後依次在0-到0+上做積分，一步一步寫：
我們平時遇到的題目中，有時候左右兩端的階次都告訴你了，這裡面n代表左端輸出項的微分階次，右端k代表沖激函數的最高微分階次，n和k的大小關系分3種情況：
n>k時，積分到最後，系統輸出項r(t)中不會包含階躍函數，就變成連續函數在0-到0+上積分，結果為0。
n=k時，則輸出信号r(t)包含相對跳變函數項/相對跳變階躍項。
n 我們以1道簡單的例題，分别用理論推導和算式推導的思路講解。 這道題，估計很多初學者在學習這個知識點時，都碰到過，也算是老熟人了。 我們先用理論分析的思路說下過程，先上圖： 分析過程如下： 根據右端有一個沖激導數項，則可知左邊的最高次裡含有沖激偶，是3個沖激偶，這是箭頭1。 根據3個沖激偶，可知原函數裡有3倍的沖激項，又因為前面有系數3，故是r(t)中有9δ（t），這是箭頭2。 又因為r(t)中有9δ（t），而左端卻沒出現δ（t），則左端dr(t)/d(t)中需要提供補償，或者說要配平，或者說是匹配，匹配一個-9δ（t）就可以了，這就是箭頭3。 因為此時dr(t)/d(t)中含有-9δ（t），則說明r(t)中有相對跳變函數 。 此時， 則直接看跳變函數項前面的系數即可，說明： 看到這裡，估計有相當一部分學生會問：“老師，這不對吧？沖擊函數做積分，應該是階躍函數啊，你這裡怎麼寫的是相對單位跳變函數呢？” 問的很好，但其實不是這樣。 假如是u(t)，則方程左端就多了一項階躍信号，這樣兩端就不相等了，不平衡了。這裡的跳變函數隻是代表“因為我的式子裡存在-9δ（t），所以我的原函數在0-到0+這裡會産生一個跳變”。簡言之，因為存在沖激信号，所以這裡要産生跳變，我們隻關注的是0-到0+這小區間。 以上，是理論分析的思路，方程微分階次低的時候，可以簡單分析，但是一旦微分階次大于2、系數很大時，這種理論分析的思路就有點低效率了，我們得換到解析式推導的步驟中。 下面我們動手用沖擊函數匹配法的做題過程寫下： 上圖，就是利用沖擊函數匹配法求解的過程，簡單清晰！！！ 這裡呢，清華大學卓晴老師在學堂在線的信号課程上講到這裡時，是這樣寫的： 卓晴老師課件上出現了相對單位跳變函數項的原函數，他寫為cf(t)，雖然是這樣寫的（可能會引起誤導），但是卓老師在講課過程中明确講了：“這一項為0，可以省略了”。 為什麼為0？為什麼可以省略呢？ 寶刀君在本文前面講述相對單位跳變函數的第1條性質時，已經說清楚了，讀者朋友可以翻看。 因此，完整的沖擊函數匹配法的解題過程，就是寶刀君附的圖。 結束了嗎？ 并沒有哦~ 通過這道題，我們還可以總結出什麼呢？比如上面的例題中b和c分别代表什麼呢？我們在利用沖擊函數匹配法求解0+狀态的值時，主要觀察哪個量呢？ 我們主要觀察相對單位跳變函數項前的系數就可以了！ 比如這裡的b代表的是r(t)的0-到0+的跳變量，c出現在r(t)的一階導數中，則c代表的是r'(t)在0-到0+的跳變量。 明白了嗎？ 求0-到0+的跳變值，重點看相對單位跳變函數項前的系數就可以了~~ 你可以把上面這個話記為一個結論。 趁熱打鐵，再來看一道例題吧，看懂的學生，你不妨拿出筆和紙試着演算下： 這個題中，我省略了左邊項全部相加的過程，最後得到了a，b的值。 剛才講了，是否有跳變，我們隻需要看此時的函數中是否有相對單位跳變函數項的系數就行，如果有，則系數為該階次對應的0-到0+狀态的跳變值，如果沒有，則該階次的函數在0-到0+不發生跳變。這個題裡，y(t)=0，沒有跳變函數項， 因此y(0+)=y(0-)。 ************ 總結一下， 寶刀君回答了以下4個問題： 1、為什麼會産生跳變？（沖激函數匹配法是為了解決什麼問題） 2、沖擊函數匹配法和奇異函數平衡分别是什麼？有什麼關系？ 3、沖擊函數匹配法的理論基礎是什麼？ 4、沖激函數匹配法的應用（典型例題講解：理論推演+步驟解析計算） 1、2、3大家理解了就OK。 重點是掌握4，因為後續再學習零狀态響應的時候，我們還需要運用沖擊函數匹配法來求解0+時刻的初始值。 讀者朋友可以運用今天所講的内容、操作手法， 回去對照課本例題練下手，相信就能很快掌握了~ 加油啦~~~ 重要提醒： 寶刀君近期将公衆号的菜單欄做成了列表模闆樣式，方便讀者朋友們，尤其是考研的學生翻閱查看，比如你打開菜單欄的自動控制，可以看到所有書寫的知識點曆史文章都在上面了：
最新文章
-
“豫西中醫界之泰鬥喬保均”治療疑難病60年經驗賞析
2小時前 -
回憶、健忘和灑脫
2小時前 -
弘一法師：“真的不忍心告訴你，這個世界隻是一個夢。你一輩子執
2小時前 -
心理學，準的讓你驚叫
2小時前 -
人生，成大器者有四識，知識、見識、膽識、遠識
3小時前 -
俞和：被遺忘的書法家，以古為師，創新在手！
3小時前 -
2024屆新高考II卷語文真題答案及解析
3小時前 -
生前隻是小人物，死後震驚史學界
3小時前
熱門文章
-
每日一誦傷寒論第241條
1周前 -
老張老李侃門球之140篇
1天前 -
這個穴位可以治療多種胃痛腹痛，還可以減肥
5天前 -
為什麼五點鐘要起床答案讓人吃驚！（現在知道還不晚）
1周前 -
治療坐骨神經痛藥酒５方
1周前 -
美麗中國-2870：中國最大的内陸河，塔裡木河
1天前 -
二十四山開門放水作竈真訣開門放水作竈直訣——子山
1天前 -
門球技巧 隻需五個字讓你打好門球
1天前
有話要說...