從“弦圖”到“一線三等角”
王 橋
從茫茫題海中的一道道題目出發，找出他們的形式上或解法上的共同點，提煉出他們的共同屬性，既是從特殊到一般的過程，也是逐漸建模的過程。運用一個個模型，反過來再解決一道道具體的問題，則是模型運用的過程。
“一線三等角模型”無疑是比較常見的幾何模型之一，在《沙場秋點兵》和《春季攻勢》以及《沖刺十招》中都有涉及。但在三本書中是從不同的角度進行講解的。《沙場秋點兵》把他放在了“相似三角形的九大模型”一講，所占篇幅不大；《春季攻勢》雖然單獨開辟一講“一線三等角和手拉手模型”，但仍然感覺意猶未盡；《沖刺十招》是放在“胸有成竹會'建模’”一講，因篇幅局限，更有隔靴撓癢之感覺。
目前，正在講《沙場秋點兵》之“相似三角形的九大模型”，并将開始着手修訂新的《春季攻勢》。“老王的數學”公衆号的相關文章，作為這三本拙作的畫蛇添足之筆，因不受篇幅長短和閱讀時間的限制，自然可以自由發揮。今天，咱們就聊聊“弦圖”（也叫“三垂直”模型）和“一線三等角”模型。
“弦圖”模型是特殊情況，“一線三等角”模型是一般情況；“弦圖”模型和“一線三等角”模型又各自分為“全等”和“相似”兩大類。
一、咱們先看“全等”型。
（一）“全等”型“弦圖”
如圖1、圖2，若∠BCA=∠AED=∠BAD=90°，且AB=AD，則△ABC≌△DAE。
其實，這兩個“弦圖”，也給我們提供了一種構造“弦圖”的策略。即如圖3，若知道等腰Rt△BAD中，∠BAD=90°且AB=AD，常見的策略就是構造“弦圖”——斜直角放正。即過等腰直角三角形的直角頂點A作水平線，再分别過B、D作水平線的垂線BC、DE，即可構造△ABC≌△DAE；或者過點A作鉛垂線，再過分别過B、D作鉛垂線的垂線BM、DN，即可構造△ABM≌△DAN；
（二）“全等”型“一線三等角”
1、如圖4、圖5，若∠BCA=∠AED=∠BAD=α，且AB=AD，則△ABC≌△DAE。
2、如圖6、圖7，若∠BCM=∠DEM=∠BAD=α，且AB=AD，則△ABC≌△DAE。
很顯然，當“全等型一線三等角模型”中的三個等角“α”等于90°時，就是前面的“弦圖模型”。
例1、（2020天水）如圖8，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原點，點E的坐标為（2，3），則點F的坐标為．——選自《春季攻勢》第11講“一線三等角與手拉手”
【解析】：如圖9，構造弦圖，則易證明△FME≌△ENO。∵點E（2，3），則ON=ME=2，EN=FM=3，∴MN=EN+EM=5，FH=FM-HM=FM-ON=3-2=1，則F（-1，5）.
二、“相似”型。
（一）“三垂直”型
如圖11、圖12，若∠BCA=∠AED=∠BAD=90°，則△ABC∽△DAE。
我們也可以根據這兩個圖形構造“弦圖”。即如圖13，若知道等腰Rt△BAD中，∠BAD=90°，常見的策略就是構造“弦圖”——斜直角放正。即過直角三角形的直角頂點A作水平線，再分别過B、D作水平線的垂線BC、DE，即可構造△ABC∽△DAE；或者過點A作鉛垂線，再過分别過B、D作鉛垂線的垂線BM、DN，即可構造△ABM∽△DAN；
（二）“一線三等角相似”型
1、如圖14若∠BCA=∠AED=∠BAD=α，則△ABC∽△DAE。
2、如圖15，若∠BCM=∠DEM=∠BAD=α，則△ABC∽△DAE。
（三）“中點型一線三等角相似”模型
1、如圖16，若∠BCA=∠AED=∠BAD=90°，且AC=AE。則△ABC∽△DAE∽△DBA，AB平分∠CBD，AD平分∠BDE；
2、如圖17，若∠BCA=∠AED=∠BAD=α，且AC=AE。則△ABC∽△DAE∽△DBA，AB平分∠CBD，AD平分∠BDE；
例3、（2021廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連接BE，将△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．——選自《沙場秋點兵》
例4、如圖1,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°，AB=AC=2，點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合)，在AC上取一點E，使∠ADE=30°.
(1)求證：△ABD∽△DCE；
(2)設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式并寫出自變量x的取值範圍；
(3)當△ADE是等腰三角形時，求AE的長。——選自《沙場秋點兵》“相似三角形的九大模型”
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