2講和、差、倍數應用題

第二講和、差、倍數應用題71 第二講和、差與倍數的應用題
做應用題是一種很好的思維鍛煉.做應用題不但要會算，而且要多思考，善于發現題目中的數量關系，可以說做應用題是運用數學的開始. 加、減、乘是最基本的運算，和、差、倍數是兩數之間最簡單的數量關系.應用題的訓練，就從這
一、和差問題
說到“和差問題”，小學高年級的同學，人人都會說：“我會！”和差問題的計算太簡單了 .是的，知道兩個數的和與差，求兩數，有計算公式：大數 =（和 +差） 2 小數 =（和 -差） 2 會算，還要會靈活運用，要把某些應用題轉化成和差問題來算. 先看幾個簡單的例子.
例 1 張明在期末考試時，語文、數學兩門功課的平均得分是95 分，數學比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？解： 95 乘以 2，就是數學與語文兩門得分之和，又知道數學與語文得分之差是8.因此數學得分 =（9528） 299. 語文得分 =(952-8） 2 91. 答：張明數學得99 分，語文得91 分. 注：也可以從952-9991 求出語文得分 .
例 2 有 A，B，C 三個數， A 加 B 等于252，B 加C 等于197， C 加 A 等于149，求這三個數 . 解： 從 B+C 197 與 A+C 149，就知道B 與 A 的差是 197-149，題目又告訴我們，B與 A 之和是 252.因此B=（252 197-149）2 150，A252-150 102，C149-102 47. 答： A， B，C 三數分别是102，150，47. 注：還有一種更簡單的方法（A+B）（ BC）（ C A） 2（ ABC）. 上面式子說明，三數相加再除以2，就是三數之和. A B C（ 252197149） 2299.因此C299-252 47，B299-149150，A299-197 102.
例 3 甲、乙兩筐共裝蘋果75 千克，從甲筐取出5 千克蘋果放入乙筐裡，甲筐蘋果還比乙筐多 7 千克 .甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？解： 畫一張簡單的示意圖，就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多575 17（千克）因此，甲、乙兩數之和是75，差為 17. 甲筐蘋果數 =（7517） 2 46（千克） . 第二講和、差、倍數應用題72 乙筐蘋果數 =75-4629（千克） . 答：原來甲筐有蘋果46 千克，乙筐有蘋果29 千克 .
例 4 張強用 270 元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140 元，買外衣和鞋比帽子多花210 元，張強買這雙鞋花多少錢？解： 我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是270 元，差是210 元. 外衣和鞋價之和=（270210） 2 240（元） . 外衣價與鞋價之差是140，因此鞋價 =（240-140） 2 50（元） . 答：買這雙鞋花50 元 . 再舉出三個較複雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計算，那麼就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運用了.
例 5 李叔叔要在下午3 點鐘上班，他估計快到上班時間了，到屋裡看鐘，可是鐘早在12 點 10 分就停了 .他開足發條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10 分鐘 .夜裡 11 點下班，李叔叔馬上離廠回到家裡，一看鐘才9 點整 .假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那麼他家的鐘停了多少時間（上發條所用時間忽略不計）？解： 到廠時看鐘是2 點 50 分，離家看鐘是12 點 10 分，相差 2 小時 40 分，這是停鐘的時間和路上走的時間加在一起産生的.就有鐘停的時間 +路上用的時間=160（分鐘） . 晚上下班時，廠裡鐘是11 點，到家看鐘是9 點，相差 2 小時 .這是由于鐘停的時間中，有一部分時間，被回家路上所用時間抵消了. 因此鐘停的時間 -路上用的時間 =120（分鐘） . 現在已把問題轉化成标準的和差問題了. 鐘停的時間 =（160120）2 140（分鐘） . 路上用的時間=160-14020（分鐘） . 答：李叔叔的鐘停了2 小時 20 分. 還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：以李叔叔家的鐘計算，他在12 點 10 分出門，晚上9 點到家，在外共8 小時 50 分鐘，其中 8 小時上班， 10 分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以上班路上所用時間=（ 8 小時 50 分鐘-8 小時 -10 分鐘） 220（分鐘） . 鐘停時間 =2 小時40 分鐘 -20 分鐘=2 小時 20 分鐘 .
例 6 小明用 21.4 元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5 元，乙卡每張0.7 元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數算作乙卡張數，把乙卡張數算作甲卡張數，要找還小明3.2 元.問小明買甲、乙卡各幾張？解： 甲卡與乙卡每張相差1.5-0.7 0. 8（元），售貨員錯找還小明3.2 元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.20.84（張） . 現在已有兩種卡張數之差，隻要求出兩種卡張數之和問題就解決了.如何求呢？請注意1.5甲卡張數 +0.7乙卡張數 =21.4. 1.5乙卡張數 +0.7甲卡張數 =21.4-3.2. 從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數之和是21.4（ 21.4-3.2）（ 1.5 0.7）18（張） . 因此，甲卡張數是（18 4）2 11（張） . 第二講和、差、倍數應用題73 乙卡張數是18-11 7（張） . 答：小明買甲卡11 張、乙卡7 張. 注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講.
例 7 有兩個一樣大小的長方形，拼合成兩種大長方形，如右圖.大長方形（ A）的周長是 240 厘米，大長形（B）的周長是258 厘米，求原長方形的長與寬各為多少厘米？解： 大長方形（ A）的周長是原長方形的長 2+寬 4. 大長方形（ B）的周長是原長方形的長 4+寬 2. 因此， 240+258 是原長方形的長 6+寬 6. 原長方形的長與寬之和是（240258） 683（厘米） . 原長方形的長與寬之差是（258-240） 2 9（厘米） . 因此，原長方形的長與寬是長：（ 839） 2 46（厘米） . 寬：（ 83-9） 237（厘米） . 答：原長方形的長是46 厘米、寬是37 厘米
二、倍數問題
當知道了兩個數的和或者差，又知道這兩個數之間的倍數關系，就能立即求出這兩個數.小學算術中常見的“年齡問題”是這類問題的典型.先看幾個基礎性的例子.
例 8 有兩堆棋子，第一堆有87 個，第二堆有69 個.那麼從第一堆拿多少個棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數是第一堆的3 倍. 解：兩堆棋子共有8769156（個） . 為了使第二堆棋子數是第一堆的3 倍，就要把156 個棋子分成1 34（份），即每份有棋子156 （ 13） 39（個） . 第一堆應留下棋子39 個，其餘棋子都應拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數是87-3948（個） . 答：應從第一堆拿48 個棋子到第二堆去.
例 9 有兩層書架，共有書173 本.從第一層拿走38 本書後，第二層的書比第一層的2倍還多 6 本.問第二層有多少本書？解：我們畫出下列示意圖：我們把第一層（拿走38 本後）餘下的書算作1“份”，那麼第二層的書是2 份還多6第二講和、差、倍數應用題74 本.再去掉這6 本，即173-38-6129（本）恰好是 3 份，每一份是1293=43（本） . 因此，第二層的書共有432 + 692（本） . 答：書架的第二層有92 本書 . 說明：我們先設立“1 份”，使計算有了很方便的計算單位.這是解應用題常用的方法，特别對倍數問題極為有效.把份數表示在示意圖上，更是一目了然.
例 10 某小學有學生975 人.全校男生人數是六年級學生人數的4 倍少 23 人，全校女生人數是六年級學生人數的3 倍多 11 人.問全校有男、女生各多少人？解：設六年級學生人數是“1 份” . 男生是 4 份-23 人. 女生是 3 份+11 人 . 全校是 7 份-（23-11）人 . 每份是（ 975+12） 7141（人） . 男生人數 =1414-23541（人） . 女生人數 =975-541 434（人） . 答：有男生541 人、女生434 人.
例 9 與例 10 是一個類型的問題，但稍有差别.請讀者想一想，“差别”在哪裡？70 雙皮鞋 .此時皮鞋數恰好是旅遊鞋數的2 倍.問原來兩種鞋各有幾雙？解：為了計算方便，把原來旅遊鞋算作4 份，售出1 份，還有3 份.那麼原有皮鞋增加70 雙後将是32=6（份） .40070 将是3+1610（份） .每份是（40070） 1047（雙） . 原有旅遊鞋474=188（雙） . 原有皮鞋476-70212 （雙） . 答：原有旅遊鞋188 雙，皮鞋212 雙.
設整數的份數，使計算簡單方便.小學算術中小數、分數盡可能整數化，使思考、計算都較簡捷 .因此，“盡可能整數化”将會貫穿在以後的章節中. 下面例子将是本節的主要内容年齡問題. 年齡問題是小學算術中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數”這一條件.解年齡問題最關鍵的一點是：兩個人的年齡差總保持不變.
例 12 父親現年50 歲，女兒現年14 歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5 倍？解：父女相差36 歲，這個差是不變的.幾年前還是相差36 歲.當父親的年齡恰好是女兒年齡的 5 倍時，父親仍比女兒大36 歲.這 36 歲是女兒年齡的（5-1）倍 . 36（ 5-1） 9. 當時女兒是9 歲， 14-95，也就是5 年前 . 答： 5 年前，父親年齡是女兒年齡的5 倍.
例 13 有大、小兩個水池， 大水池裡已有水300 立方米 .小水池裡已有水70 立方米 .現在往兩個水池裡注入同樣多的水後，大水池水量是小水池水量的3 倍.問每個水池注入了多少立方米的水 . 解：畫出下面示意圖： 第二講和、差、倍數應用題

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5 我們把小水池注入水後的水量算作1 份，大水池注入水後的水量就是3 份.從圖上可以看出，因為注入兩個水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是 2 份. 因此每份是（300-70） 2115（立方米） . 要注入的水量是115-70=45 （立方米）答：每個水池要注入45 立方米的水 . 例 13 與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水”相當于年齡問題中的“幾年後”.
例 14 今年哥倆的歲數加起來是55 歲.曾經有一年， 哥哥的歲數與今年弟弟的歲數相同，那時哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的兩倍.哥哥今年幾歲？解：當哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2 倍時， 我們設那時弟弟的歲數是1 份，哥哥的歲數是 2 份，那麼哥哥與弟弟的歲數之差是1 份.兩人的歲數之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1 份. 題目又告訴我們，那時哥哥歲數，與今年弟弟的歲數相同，因此今年弟弟的歲數也是2份，而哥哥今年的歲數應是213（份） . 今年，哥弟倆年齡之和是32=5（份） . 每份是555 11（歲） . 哥哥今年的歲數是11333（歲） . 答：哥哥今年33 歲. 作為本節最後一個例子，我們将年齡問題進行一點變化.
例 15 父年 38 歲，母年36 歲，兒子年齡為11 歲. 問多少年後，父母年齡之和是兒子年齡的4 倍？解：現在父母年齡之和是3836 74. 現在兒子年齡的4 倍是11444.相差74-4430. 從 4 倍來考慮，以後每年長1 44，而父母年齡之和每年長112. 為追上相差的30，要30（ 4-2） 15（年）答： 15 年後，父母年齡之和是兒子年齡的4 倍. 請讀者用例15 的解題思路，解習題二的第7 題.也許就能完全掌握這一解題技巧了. 請讀者想一想，例15 的解法，與例12 的解法，是否不一樣？各有什麼特點？我們也可以用例15 解法來解例12.具體做法有下面算式：（14 5-50）（ 5-1）5（年） . 不過要注意145 比 50 多，因此是5 年前. 三、盈不足問題
在我國古代的算書中，九章算術是内容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現代的語言來叙述，就是下面的例題. 例 16 有一些人共同買一些東西，每人出 8 元，就多了 3 元；每人出 7 元，就少了 4 元。那麼有多少人？物價是多少？第二講和、差、倍數應用題76 解：“多3 元”與“少4 元”兩者相差347（元） . 每個人要多出8-71（元） . 因此就知道，共有71 7（人），物價是87-353（元） . 答：共有7 個人一起買，物價是53 元. 上面的 34 可以說是兩個總數的相差數.而 8-7 是每份的相差數.計算公式是總數相差數每份相差數=份數這樣的問題在内容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請再看一些例子 . 例 17 把一袋糖分給小朋友們，每人分10 粒，正好分完；如果每人分16 粒，就有 3 個小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？解一： 3 位小朋友本來每人可以分到10 粒，他們共有的10 3 30（粒），分給其餘小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其餘小朋友有103（ 16-10）5（人） . 再加上這3 位小朋友，共有小朋友5 3 8（人） .這袋糖有10（ 5 3） 80（粒） . 解二：如果我們再增加163 粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友163（ 16-10） =8（人）這袋糖有80 粒. 答：這袋糖有80 粒. 這裡，163 是總差，（ 16-10）是每份差，8 是份數 . 例 18 有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6 人；如果減少一條船，每條船正好坐9 人.這個班共有多少名同學？解：如果每條船坐6 人，就要增加一條船，也就是現在有6 個人無船坐；如果每條船坐9 人，可以減少一條船，也就是還可以多來9 個人坐船 .可以坐船的人數，兩者相差6 9 15（人） . 這是由于每條船多坐（9-6）人産生的，因此共有船（6 9） (9-6）5（條）這個班的同學有65 6 36（人） . 答：這個班有36 人. 例 19 小明從家去學校，如果每分鐘走80 米，能在上課前6 分鐘到校，如果每分鐘走50 米，就要遲到3 分鐘，那麼小明的家到學校的路程有多遠？解一： 以小明從家出發到上課這一段時間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學校的距離進行比較：如果每分鐘走80 米，就可以多走806（米）；如果每分鐘走50米，就要少走503（米） .請看如下示意圖：因此我們可以求出，小明從家出發到上課這段時間是（806 503） （ 80- 50）21（分鐘） . 家至學校距離是第二講和、差、倍數應用題77 800（ 21-6）1200（米）或 50 （ 21+3）1200（米） . 答：小明家到學校的路程是1200 米. 解二：以每分鐘80 米走完家到學校這段路程所需時間，作為思考的出發點. 用每分鐘50 米速度，就要多用63= 9（分種） .這 9 分鐘所走的50 9（米），恰好補上前面少走的.因此每分鐘80 米所需時間是50（ 63）（ 80- 50）15（分鐘）再看兩個稍複雜的例子. 例 20 一些桔子分給若幹個人，每人5 個還多餘10 個桔子 .如果人數增加到3 倍還少 5個人，那麼每人分2 個桔子還缺少8 個，問有桔子多少個？解：使人感到困難的是條件“3 倍還少 5 人”.先要轉化這一條件. 假設還有10 個桔子，10 25，就可以多有5 個人，把“少5 人”這一條件暫時擱置一邊，隻考慮3 倍人數，也相當于按原人數每人給23=6（個） . 每人給 5 個與給 6 個，總數相差1010 8 28 (個） . 所以原有人數28（ 6-5)=28（人） . 桔子總數是5 28 10 150（個） . 答：有桔子150 個. 例 21 有一些蘋果和梨.如果按每 1 個蘋果 2 個梨分堆， 梨分完時還剩5 個蘋果， 如果按每 3 個蘋果 5 個梨分堆，蘋果分完了還剩5 個梨 .問蘋果和梨各多少？解一：我們設想再有10 個梨，與剩下5 個蘋果一起，按“1 個蘋果、 2 個梨”前一種分堆，都分完 .以後一種“ 3 個蘋果、 5 個梨”分堆來看，蘋果總數能被3 整除.因此可以把前一種分堆，每 3 堆并成一大堆，每堆有3 個蘋果， 23 6（個）梨 .與後一種分堆比較：每堆蘋果都是3 個.而梨多 1 個（ 6-51）.梨的總數相差設想增加10 個+剩下 5 個=15 個. （10 5）（ 6- 5）15. 就知有 15 個大堆，蘋果總數是153 45（個） . 梨的總數是（455） 280（個） . 答：有蘋果45 個、梨 80 個. 解二：用圖解法. 前一種分堆，在圖上用梨2 份，蘋果 1 份多 5 個來表示 . 後一種分堆，隻要添上3 個蘋果，就可與剩的5 個梨又組成一堆.梨算作 5 份，蘋果恰好是 3 份. 将上、 下兩圖對照比較，就可看出，5 3 8 （個） 是下圖中 “半份” ，即 1 份是16.梨是5 份，共有16 5 80（個） .蘋果有162.5 5 45（個） .