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初二奧數精講——第12講 應用問題（二）

本講适用于初二、初三，因為我們的奧數講解主要帶着學生學習有深度、新穎、競賽性的奧數知識和題目，所以隻要有課堂上基本的知識儲備，都可以一起來學習，相信對你的奧數、數學思維，解題思路都大有裨益。

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一、知識點解析

1.基本知識

解應用問題的步驟：

（1）将問題中的每一個條件都用一個等式表示。

（2）在這些等式中選擇一個量為未知數，利用若幹等式将其他量都用未知數表出。

（3）利用剩下的一個等式（稱為主關系）列方程。

（4）解方程。

（5）答題。

常用關系：

路程=時間×速度；

順流速度=航速+水速，逆流速度=航速-水速；

完成工作總量=工作時間×工作效率（單位時間内完成的工作量，即進度）；

溶液（混合物）=溶質+溶劑；

百分比濃度=溶質/溶液=溶質/（溶質+溶劑）；

物品總數=參與分配單位數×每個單位所分物品數；

盈利=售價-成本價；

盈利率（盈利百分比）=盈利/成本=（售價-成本）/成本；

增長數=原計劃數×增長率；

2.基本方法

如何設未知數，設未知數的原則，是要使其他的量易于用含未知數的式子表出。由此可知，在公式A=B×C中，當知道其中一個因數，比如C=k，則應選擇另一個因數B為未知數x，這樣，量A則易用于x表示：A=kx.

如何建立方程：先确定問題中含有的所有變量，再建立這些變量間的所有等量關系，包括題目條件直接給出的和問題的實際意義隐含的，再根據設未知數的原則，确定一個（或幾個）變量為未知數，然後利用所列等式将其他變量用未知數表示。最後将所得的表達式代入剩下的一個等式即得到方程。

3.基本問題

單運動體的形成問題（改變形成計劃問題）：注意兩種不同方式行走相同的路程。

雙運動體的形成問題（追及問題）：注意兩運動體行走不同路線所花時間相等或者注意兩種運動體在不同時間内行走的路程相等。

工程問題：注意尋找單位時間内完成的工作量。

濃度（密度）問題：一是注意濃度改變時可能溶質不變（在溶液中添加溶劑）或者溶劑不變（在溶液中添加溶質）。二是注意“倒出”某種濃度的溶液中含有多少溶質。

分配問題：注意同樣數量的物品按不同方式進行分配。

盈利、增長率問題：設原有數位A，每時段的增長率為x，則經過k個時段後得到A(1+x)k。

數字問題：關鍵是将自然數用各位上的數碼為系數的關于10的幂的多項式形式表示。

牛吃草問題：關鍵是計算每頭牛在單位時間單位面積的實際吃草量。

這部分主要考察學生的應用題的了解及掌握。應用題是代數部分的綜合應用，這部分題型種類繁多，具有其自身的解題特點，會融合實際問題、整數等多種知識點，要在紮實的基礎知識基礎上，認真學習，多加練習，讓我們在例題和解答中一起學習吧。

二、例題

例1 （陝西省中考題）

甲、乙兩地間的路一部分是上坡路，其餘都是下坡路。某郵遞員騎自行車從甲地到乙地需2小時40分鐘，從乙地到甲地少用20分鐘，已知他騎自行車走下坡路比走上坡路每小時多走6千米，又甲、乙兩地相距36千米，求他騎自行車上坡、下坡的速度以及甲地道乙地上、下坡的長度。

分析：用整體思想，從整體上考慮，自行車在甲、乙之間往返一次共需5小時，且上坡路、下坡路各走36千米。

解答：

例2

某團體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距100千米，團體分别為A、B兩組。A組先乘車，B組先步行。A組到途中某處下車步行，汽車返回接B組，已知步行時速8千米，汽車時速40千米。問：要使大家在下午4點同時到達乙處，必須在什麼時候出發？

分析：同時到達，兩組步行的路程相等。

解答：

設A組乘車的路程為x千米，乙組上車時，乙組和汽車合并走了2x千米，所以乙組步行的時間為2x/(40+8) = x/24.

由于兩組同時到達，所以兩組步行的路程相等，所以

x/24×8 = 100 – x.

解得 x=75.

所以，從甲地到乙地的時間為 x/40 + (100 - x)/8 = 5.

答：要使大家在下午4點同時到達乙處，必須在中午11時出發。

例3

小明一次看手表時，發現時針與分針恰好重合，他突然想：他們下一次重合需要經曆多少時間？

例4（河北省中考題）

某人将2000元人民币按一年定期存入銀行，到期後支取1000元用作購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款利率不變，到期後本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率。

例5

草原上12頭牛4周共吃草畝，同樣牧草，21頭牛吃9周，共吃10畝。問：24畝地

的同樣牧草，可供多少頭牛吃18周？

如果你能夠在不看答案的情況下就很順利解決這些問題，那麼說明你對應用題的掌握已經很透徹，這樣的話可以加微信号miaomiao-asd，有更多有意思有深度的題目和講解可以提供，還可享受一對一線上咨詢輔導。關注抖音号“數學奧數思維拓展”-1059021292，觀看更新的相關視頻講解。

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