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草根思考|源于教材例題的變式，以相似三角形一章為例

源于教材例題的變式

所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化。數學教學不應局限于一個狹窄的課本知識領域裡，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握後，進一步的深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三，應用數學“變式教學”的方法是十分有效的手段。

“相似三角形”一章中存在一些“基本圖形”，應用廣泛，形式多變，教材例題中也有所呈現，但常常“點到為止”，留白于學生。在教學中，如果以此為契機，總結規律，運用變式，可引發學生深度思考，成為很好的學習素材。

案例（1）

滬教版 九年級(上) 第25頁

01

基礎圖形分析

産生了兩組“會依會存”的相似三角形：

圖中的等角關系如下：

02

問題變式探究

（1）延長BA、CD交于點E（如下圖），此時圖中有幾組相似三角形？

（2）*四邊形ABCD是什麼特殊四邊形？

答：四邊形ABCD是圓内接四邊形，又稱“點A、B、C、D四點共圓”，如果繼續運用圓中的角與圓幂定理等知識，相關問題會更清晰.（注：*表示有超出教材的知識）

案例（2）

滬教版 九年級(上) 第25頁

滬教版 九年級(上) 第31頁

01

基礎圖形分析

共邊共角型

02

問題變式探究

∠A的平分線，交邊PC、BC于點F、點E

（1）圖中是否産生新的相似三角形？

答：産生兩組新的相似三角形：

△ABF∽△ACE、△APE∽△ACF

關鍵：圖中三組相似等相似比！

（2）圖中是否産生新的特殊三角形？

答：産生等腰△CEF

案例（3）

滬教版 九年級(上) 第38頁

滬教版 九年級(上) 第39頁（第2題）

01

基礎圖形分析

上述兩題的背景均是等腰三角形，都有一個角等于該等腰三角形的底角，不同的是這個“等角”所處的位置

注意到“練習24.5（4）”的第1題，其背景是直角三角形配斜邊上的高，也可以視為兩組“共邊共角型”嵌套，補充一道類似問題供參考.

02

問題變式探究

如果與底角相等的角在等腰三角形形内…

已知，如圖，AB=AC，∠AEF=∠C，

請問圖中有幾組相似三角形？

共有四組相似三角形

如果與底角相等的角在等腰三角形形外？

已知，如圖，AB=AC，∠AEF=∠C，

請問圖中有幾組相似三角形？

（此問留給讀者自己思考、摸索）

案例（4）

滬教版 九年級(上) 第32頁

01

基礎圖形分析

如圖所示：

△ABC經過了放縮、旋轉運動形成了△ADE

△ABC∽△ADE→∠BAC=∠DAE

→∠DAB=∠EAC（AD:AB=AE:AC)

→△ABD∽△ACE

02

問題變式探究

當D、E、C三點共線或點E在BC上時，存在圓内接四邊形，由此又會産生幾組相似三角形（參考案例一），附一道經典試題，源于本題變式

案例（5）

滬教版 九年級(上) 第38-39頁

01

基礎圖形分析

本例中的“議一議”意在引發學生思考“内接矩形”問題，的關鍵是：

（1）外圍三角形的底和高；

（2）内接矩形的鄰邊比.

（具體解題過程，請參考書本例題解析）

02

問題變式探究

在原題條件下：

△ABC中，BC=60，BC上高AH=80

問題① 如果四邊形DEFG是矩形，其鄰邊比為2:3，求DG的長

解：設矩形兩鄰邊為2k、3k

若DG=2k，則2k:60=(80-3k):80

若DG=3k，則3k:60=(80-2k):80

（解方程即可）

問題② 在邊BC上找點Q，使△DGQ是等腰直角三角形，求DG的長

△DGQ是内接等腰直角三角形

              →内接鄰邊比為1:1或2:1的矩形

解：若DG是△DGQ的直角邊（如左圖）

       設DG=k，則k:60=(80-k):80

       若DG是△DGQ的斜邊   （如右圖）

       設DG=2k，則2k:60=(80-k):80

（解方程即可）

問題③ 在邊BC上找點Q，使△DGQ是等邊三角形，求DG的長

△DGQ是内接等邊三角形

              →内接鄰邊比為2:√3的矩形

解：設DG=2k，則△DGQ的高為√3k

       則2k:60=(80-√3k):80（如下圖）

（解方程即可）

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