初二奧數精講——第14講 相似（一）
本講适用于初二、初三，因為我們的奧數講解主要帶着學生學習有深度、新穎、競賽性的奧數知識和題目，所以隻要有課堂上基本的知識儲備，都可以一起來學習，相信對你的奧數、數學思維，解題思路都大有裨益。
抖音号“數學奧數思維拓展” 1059021292，持續更新的相關視頻講解。
一、知識點解析1. 基本知識
如果一個圖形，按一定的比例擴大或縮小，然後通過适當的平移、旋轉、對稱變換，可使之與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形是相似的。由一個圖形變成與它相似的圖形時，有如下的不變量：
（1）對應線段的比不變；
（2）對應角的大小不變；
（3）線段平行、垂直的關系不變；
（4）點共線與線共點的關系不變。
與面積有關的基本結論：
等積定理：等底等高的兩個三角形面積相等，
面積比定理：等底（高）的兩個三角形面積的比等于它們對應高（底）的比，兩個相似三角形的面積比等于它們的相似比的平方。
共角定理：共角（角相等或互補）的兩個三角形的面積比，等于夾這個角的兩邊的乘積的比。
共邊定理：共邊的兩個三角形的面積比，等于這邊所對頂點到這邊的距離比，也等于這邊所對頂點到它們的連線（或延長線）與這邊的交點的距離比。
2. 基本方法
對于線段成比例的問題，常用如下一些方法：
（1）構造平行線，利用平行線截線段成比例定理。
（2）構造相似形，利用相似形的對應線段成比例。
（3）面積法，利用等底（高）的兩個三角形的面積比等于對應高（底）的比。
3. 基本問題
證明三角形相似：尋找相等的對應角與成比例的對應邊。
求線段（比）：将待求線段作為一個三角形的邊，通過三角形相似建立比例關系。
證明恒等式：将等式轉化為比例式，然後利用相似三角形建立比例關系。
求面積（比）：利用相似關系或者利用共邊（高）三角形将面積比轉化為線段比。
求角度：将待求的角作為一個三角形的内角，通過三角形相似建立角的等量關系。
證平行垂直：通過相似三角形發現有關角的關系，由此計算有關線的夾角。
這部分主要考察學生對相似的了解及掌握。相似是幾何部分的重要工具，這部分題型種類繁多，會與其他知識點混合在一起考察，需要一定的空間想象能力和知識基礎，要在紮實的基礎知識基礎上，認真學習，多加練習，讓我們在例題和解答中一起學習吧。
二、例題例1
分析：∠A是公共角，所以要證明這兩個三角形相似，隻需證 對應角相等，或證夾∠A的兩邊對應成比例。由于“高”可産生相似三角形，從而得到所需要的的比例關系。
證明：
例2
如圖，已知D是△ABC的邊AB上一點，AD:DB=1:2，∠A=45°，∠ BDC=60°，求證： △CBD ∽ △ABC.
分析：目标的兩個三角形有公共角∠B，所以隻需證另一對角相等或夾∠B的兩條邊對應成比例，條件給出了兩個特殊角，而能夠發揮這兩個特殊角作用的是直角三角形，所以應添加輔助線構造出含這兩個角度的直角三角形。
解答：
例3
如圖，過△ABC的頂點B和C分别作AB、AC的垂線BD與CD，兩線交于D，由C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F。求證：△ACE∽△ABC.
例4
如圖，設O是四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點，且.若∠BAD+∠BCA=180°，AB=6，AC=5，AD=4，求BC的值。
例5
如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD、AE分别為△ABC的内角與外角的平分線交BC和BC的延長線于D、E.求證：AB2：BE2=CD：CE.
如果你能夠在不看答案的情況下就很順利解決這些問題，那麼說明你對相似的掌握已經很透徹，這樣的話可以加微信号miaomiao-asd，有更多有意思有深度的題目和講解可以提供，還可享受一對一線上咨詢輔導。關注抖音号“數學奧數思維拓展”-1059021292，觀看更新的相關視頻講解。
最新文章
-
“豫西中醫界之泰鬥喬保均”治療疑難病60年經驗賞析
3小時前 -
回憶、健忘和灑脫
3小時前 -
弘一法師：“真的不忍心告訴你，這個世界隻是一個夢。你一輩子執
4小時前 -
心理學，準的讓你驚叫
4小時前 -
人生，成大器者有四識，知識、見識、膽識、遠識
4小時前 -
俞和：被遺忘的書法家，以古為師，創新在手！
4小時前 -
2024屆新高考II卷語文真題答案及解析
4小時前 -
生前隻是小人物，死後震驚史學界
5小時前
熱門文章
-
每日一誦傷寒論第241條
1周前 -
老張老李侃門球之140篇
1天前 -
這個穴位可以治療多種胃痛腹痛，還可以減肥
5天前 -
為什麼五點鐘要起床答案讓人吃驚！（現在知道還不晚）
1周前 -
治療坐骨神經痛藥酒５方
1周前 -
美麗中國-2870：中國最大的内陸河，塔裡木河
1天前 -
二十四山開門放水作竈真訣開門放水作竈直訣——子山
1天前 -
門球技巧 隻需五個字讓你打好門球
1天前
有話要說...