初二奧數精講——第15講 塞瓦定理與梅列勞斯定理定理（一）
一、知識點解析
1. 基本知識
塞瓦（Ceva）定理：設D、E、F分别是△ABC的邊BC、CA、AB或延長線上的點，則AD、BE、CF三線共點或互相平行的充要條件是
塞瓦（Ceva）定理角元形式：設D、E、F分别是△ABC的邊BC、CA、AB或延長線上的點，令∠BAD=α1，∠CAD=α2，∠CBE=β1，∠ABE=β2，
∠ACF=γ1，∠BCF=γ2，則AD、BE、CF三線共點或互相平行的充要條件是
梅涅勞斯（Menelaus）定理：設D、E、F分别是△ABC的邊BC、CA、AB或延長線上的點，則D、E、F共線的充要條件是
2. 基本方法
循環積：塞瓦定理與梅涅勞斯定理的證明都可采用這樣一種方法：要證三個比值的積為1，可設法找到三個量（比如線段）x、y、z，使三個比值分别為x/y、y/z、z/x，則它們的積（我們稱這種積為循環積）顯然為1.
3. 基本問題
利用塞瓦定理與梅涅勞斯定理，常可解決如下一些問題：
（1）證明點共線與線共點；
（2）求線段長（比）；
（3）已知有關線段的比，求相應的參數；
（4）證明恒等式；
（5）求滿足某種條件的點的軌迹。
這部分主要考察學生對塞瓦定理與梅涅勞斯定理的了解及掌握。塞瓦定理與梅涅勞斯定理是幾何部分的“高階”定理，這部分題目難度大，常與代數等知識點混合在一起考察，需要一定的空間想象能力和知識基礎，要在紮實的基礎知識基礎上，認真學習，多加練習，讓我們在例題和解答中一起學習吧。
二、例題例1
證明塞瓦（Ceva）定理：設D、E、F分别是△ABC的邊BC、CA、AB或延長線上的點，則AD、BE、CF三線共點的充要條件是
分析：可以從線段角度出發，找到三條線段x、y、z，使得
從這個角度考慮，可以過E、F、M中的某個點作三角形另兩條邊的平行線，通過平行線的比例定理進行求解。
另一方面，我們可以考慮通過面積來考慮，注意到△ACO與△BCO有公共邊CO，從而将比值轉化為面積的比值。
證明：
例2
證明梅涅勞斯（Menelaus）定理：設D、E、F分别是△ABC的邊BC、CA、AB或延長線上的點，則D、E、F共線的充要條件是
分析：目可以從線段角度出發，找到三條線段x、y、z，使得
從這個角度考慮，可以過點C作CG//DF交AB于G，通過平行線的比例定理進行求解。
解答：
例3
例4
例5 （IMO預選題）
如圖，設△ABC是等邊三角形，P是其内部一點，線段AP、BP、CP依次交三邊BC、CA、AB于A1、B1、C1三點。證明A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A.
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