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【專題精講】最短路徑問題彙總,經典例題解析,期中必考内容

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一、學習目标 1、熟練應用最短路徑的基本模型; 2、掌握計算最短路徑的長度的一般思想和方法; 3、理解最短路徑問題的數學本質:轉化思想、數形結合思想和函數思想。 二、知識重點 1、最短路徑問題 是圖論研究中的一個經典算法問題,旨在尋找圖(由結點和路徑組成的)中兩結點之間的最短路徑。算法具體的形式包括: (1)确定起點的最短路徑問題——即已知起始結點,求最短路徑的問題; (2)确定終點的最短路徑問題——與确定起點的問題相反,該問題是已知終結結點,求最短路徑的問題; (3)确定起點終點的最短路徑問題——即已知起點和終點,求兩結點之間的最短路徑; (4)全局最短路徑問題——求圖中所有的最短路徑。 2、基本依據 兩點之間線段最短、垂線段最短、軸對稱的性質、平移的性質等。 3、常見的類型 兩點一線,兩線一點,兩點兩線等。 三、12個基本問題 1、問題原型:将軍飲馬、造橋選址、費馬點 2、涉及知識:兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形三邊關系、軸對稱、平移 3、出題背景:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐标軸、抛物線等 4、解題思路:找對稱點實現“折”轉“直”,近兩年出現“三折線”轉“直”等變式問題考查。 5、12個基本問題 經典例子解析 例一、在解決最短路徑問題時,  我們通常利用_____、_____等變換把已知問題轉化為容易解決的問題,從而作出最短路徑的選擇。 例二、已知,如圖,在直線l的同側有兩點A、  B (1)在圖1的直線上找一點P使PA+PB最短;(2)在圖2的直線上找一點P,使PA-PB最長 例三、如圖所示,P為∠AOB内一點,P1,P2分别是P關于OA,OB  的對稱點,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,則△PMN的周長是( )  A.7 cm    B.5 cm C.8 cm   D.10 cm  例四、如圖,在等腰Rt△ABC中,D是BC邊的中點,E是AB邊上一動點,要使EC+ED最小,請找點E的位置 例五、如圖,村莊A,B位于一條小河的兩側,若河岸a,b彼此平行,現在要建設一座與河岸垂直的橋CD,問橋址應如何選擇,才能使A村到B村的路程最近? 參考答案 例一:軸對稱平移  例二:(1)作點B關于直線l的對稱點C,連接AC交直線l于點P,連接BP;點P即為所求(2)連接AB并延長,交直線l于點P 例三:C   例四:作點C關于AB的對稱點C′,連接C′D與AB的交點為E點 例五:①過點A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的寬度;②連接A′B交b于點D;③過點D作DE∥AA′交a于點C;④連接AC.則CD即為橋的位置

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