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練眼力找全等三角形,你有把握嗎 - 初中聯賽幾何100題之16


題目:已知:ABCD 與 A1B1C1D1均為正方形,A2 、B2 、C2 、D2分别為 AA1、BB1、CC1、DD1 的中點.

求證: A2B2C2D2 為正方形.

如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。


題目分析:

從結論看,要證明正方形,可以拆解為求證鄰邊相等且互相垂直。

由于正方形的對稱性,隻要證明出一組鄰邊相等且垂直,其他鄰邊可同理證出。

要證明同端點的兩邊線段相等且垂直,考慮嘗試構造三角形旋轉而成的全等三角形。


解法:

觀察條件,這麼多中點,第一反應是應用中位線定理。

于是取BA1,BC1的中點E,F,構造出三角形A2EB2和B2FC2,由中位線定理

易知A2E=AB/2=BC/2=C2F,AB2=A1B1/2=B1C1/2=FB2

再由A2E//AB,B2E//A1B1,C2F//BC,B2F//B1C1,

而A1B1

B1C1,AB

BC兩個角的兩邊相互垂直,可知這兩個角相等

所以

從而三角形A2EB2和B2FC2全等

A2B2=B2C2,


注意到

,順利得到


條件和結論會師。證畢


總結和推廣:涉及多個線段中點的求證,應該嘗試中位線。要證明同端點的兩邊線段相等且垂直,考慮嘗試構造三角形旋轉而成的全等三角形。

另外,如果把A1B1C1D1放進大正方形ABCD内部,用同樣的證明思路也可以得到相同的結論,這其實是多年前的一道競賽題。

把正方形換成正三角形,結論也同樣成立。有興趣的可以查閱“愛可爾斯定理”,獲得更多信息,擴展一些視野。

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