如圖所示:P是正三角形ABC内一點,過P分别作三邊的垂線PE、PF、PG,垂足分别是E、F、G,若△ABC的面積是16,求綠色部分的面積。
分析:如果P是内心,顯然綠色部分的面積是正三角形面積的1/2。
當P是任意點時,猜測塗色部分面積的面積和占比不變。
證明也不難。
過點P分别作三角形三邊的平行線IJ、MN、ST,如圖所示。
可知△PMT為正三角形(由平行關系,易知三個角均為60°),
因為PG⊥MT,所以S△PMG=S△PGT;
可知BMPI是平行四邊形,所以S△PBM=S△PBI;
故塗色部分△PBG的面積是梯形BMPI的1/2。
同理可證△PAE的面積是梯形AIPN的1/2,
△PFC的面積是梯形CNPT的1/2。
而三個梯形的面積和正好是正三角形ABC的面積,
因此塗色部分的面積是正三角形ABC面積的1/2=8。
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