這是一道經典的幾何題。如圖,直角三角形ABC中,∠C是直角,BC=2AC,AD是∠BAC的平分線。求證:AB+2BD=5AC
分析:如果用一般的“截長補短”的方法做輔助線,還是要費一點功夫的。但利用角平分線定理和勾股定理,解決這個問題則幾乎不費吹灰之力。
根據題意,BC=2AC,不妨設AC=1,則BC=2,AB=√5;
再設BD=x,則CD=2-x,
由角平分線定理:CD/BD=AC/AB,帶入數值,
(2-x)/x=1/√5,
解得x=(5-√5)/2
所以AB+2BD=√5+2×(5-√5)/2=5=5AC。
是不是簡單到爆?
關鍵就是利用角平分線定理,把幾何問題化為代數問題。
有話要說...