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初中數學-培優專題：整體與完形 （補形法）

整體與完形

【閱讀與思考】

1.許多幾何問題，常因圖形複雜、不規則而給解題帶來困難，這些複雜、不規則的圖形，從整體考慮，可看作某種圖形的一部分，如果将它們補充完整，就可得到常見的特殊圖形，那麼就能利用特殊圖形的特殊性質轉化問題，這就是解幾何問題的補形法.

2.常見的補形方法有:

(1)将原圖形補形為最能體現相關定理、推論、公理的基本圖形；

(2)将原圖形補形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形；

(3)将原圖形補形為平行四邊形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下圖形:

【例題與求解】

【解析】

根據a/b=(a+b)/(a+b+c)即可求得a/b=b/(a+c)，延長CB至D，使BD=AB，即可求證△ABC~△DAC，即可得∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC.即可解題.

【點評】

本題考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，相似三角形的判定，本題中求證△ABC~△DAC是解題的關鍵.

【解析】

(1)都是内角平分線時，可根據等腰三角形三線合一的特點來求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延長AF交BC于K，那麼三角形ABK就是個等腰三角形，AF=FK，如果延長AG到H，那麼同理可證AG=GH，AC=CH，那麼GF就是三角形AHK的中位線，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-(BC-CH)，由于BK=AB，CH=AC，那麼可得出FG=1/2(AB+AC-BC)；

(2)證法同(1)先根據題目給出的求法，得出GD是AC的一半，然後按(2)的方法，通過延長AF來得出DF是(BC-AB)的一半，由此可得出FG=1/2(BC+AC-AB)

【點評】

本題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質以及全等三角形的判定等知識點.

【解析】

作出輔助線，構建直角三角形，使AD成為直角三角形的一條邊，根據勾股定理求解.

【點評】

本題考查的是直角三角形中勾股定理的運用，作輔助線構建可以運用勾股定理的直角三角形是解題的關鍵.

【解析】

1.本題是一個幾何定值證明問題，關鍵是将八邊形問題轉化為三角形或四邊形問題來解決，若連接對角線則破壞一些已知條件，故考慮向外補形.

2.在證明過程中用到了兩平行線之間某點到兩直線的距離之和為兩平行線間的距離這一性質.

【點評】

此題分别考查了等邊三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定及軸對稱的性質，解題的關鍵是利用角平分線的性質與判定構造全等三角形，然後利用全等三角形的性質即可解決問題.

【能力訓練】

【解析】

本題可通過作輔助線進行解決，延長CB到E，使BE=DC，連接AE，AC，先證兩個三角形全等，利用直角三角形的面積與四邊形的面積相等進行列式求解.

【點評】

本題考查了面積及等積變換問題；巧妙地作出輔助線，把四邊形的問題轉化為等腰直角三角形來解決是正确解答本題的關鍵.

【點評】

本題考查軸對稱的性質，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等.

【解析】

延長并反向延長AB，CD，EF，構成一個等邊三角形，再将這個六邊形以外的多邊形減去即可得這個六邊形的周長.

【點評】

本題考查了多邊形的周長.解決本題的關鍵是構造等邊三角形，根據等邊三角形的三邊相等的性質求解.

【解析】

作輔助線，延長AM、EN交于Q，延長AB、DC交于R，由△DMQ~△RMA，得出線段DQ的長，進而可得NQ的長，再由△ABP~△QNP，即可求解BP與PN的比值.

【點評】

本題主要考查了相似三角形的判定及性質問題，能夠熟練利用其性質求解一些計算問題.

解法一：

解法二：

【點評】

此題考查了三角形的面積，利用特殊三角形及正弦定理的面積公式計算出每個三角形的面積即可.

【解析】

分析題意構造一個直角三角形，然後利用勾股定理解答即可.

【點評】

本題通過作輔助線，構造直角三角形，利用解直角三角形的知識進行計算.

【解析】

延長線段BN，交AC于E，利用已知易證ABN≌△AEN，所以BN=EN，從而證得MN是△BCE的中位線，所以求出EC，再運用中位線定理求MN.

【點評】

作出輔助線NE即可:(1)構造出全等三角形(△ABN≌△AEN)，從而求出CE的長；(2)證明MN是中位線，從而輕松解決問題.

【解析】

運用割補法把原四邊形轉化為正方形，求出BE的長.

【點評】

本題運用割補法把原四邊形轉化為正方形，其面積保持不變，

所求BE就是正方形的邊長了；也可以看作将三角形ABE繞B點逆時針旋轉90°後的圖形.

【解析】

通過對内分割或向外補形，構造直角三角形，解出AF、BF的長，得出AE、DE，解直角三角形ADE求出角D的度數.

【點評】

考查了解直角三角形的應用.

注:因直角三角形元素之間有很多關系，故用已知元素與未知元素的途徑常不唯一，選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢?請記住:有斜用弦，無斜用切，甯乘勿除，在沒有直角的條件下，常通過作垂線構造直角三角形;在解由多個直角三角形組合而成的問題時，往往先解已具備條件的直角三角形，使得求解的直角三角形最終可解.

解法一：

解法二：

【解析】

△ABC和△CDE都是一般斜三角形，直接根據已知條件不易求得結果，但是由于△ABC中AC已知，且∠BAC=60°，若以AC為一邊和以∠BAC為一内角構成直角三角形或一個等邊三角形，則這兩種三角形面積都能求.

【點評】

本題通過構造三角函數和等邊三角形可以求解，利用直角三角形和等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質求解.

【點評】

此題主要考查了面積及等積變換，根據題意得出所求的八邊形的面積與八邊形各邊長排列順序無關進而求出是解題關鍵.

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三角形直角三角形問題性質AC

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