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中考數學培優:巧用旋轉解題

巧用旋轉解題

【例題講解】

一、當條件中出現“鄰邊相等+對角互補十半角”

二、當條件中出現“鄰邊相等+半角”

【解題思路】

分析題意可知∠BAP+∠CAQ=30°,充分利用這一點是解答本題的關鍵.思路一:可以将△BAP繞點A逆時針旋轉60°,使AB與AC重合,設點P的對應點為P',過點P'作BC的垂線,利用特殊角和勾股定理,求出線段P'Q的長;然後證明△QAP'≌△QAP,得到線段PQ的長,進一步得到線段AB的長.思路二:可以将△BAP沿直線AP翻折得△B'AP,連接B'Q,證明△B'AQ≌△CAQ,從而發現△B'PQ中,∠PB'Q=120°,PB'=2,QB'=3,可求線段PQ的長,進一步得到線段AB的長.

【點評】

本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理等知識;熟練掌握等邊三角形的性質,證明三角形全等是解題的關鍵.

三、當條件中出現“鄰邊相等+對角互補”

四、僅有“鄰邊相等”

【鞏固練習】

【解析】

如圖,将△APC繞點A順時針旋轉60°得到△ABE,連接PE,隻要證明PA、PB、PC為邊組成的三角形就是△PEB,再求出其内角即可.

【點評】

本題考查等邊三角形的性質、旋轉的性質,利用旋轉添加輔助線是解決問題的關鍵,屬于中考常考題型.

【解析】

根據旋轉性質可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP',由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形,進而根據∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°,設BP=BP'=a、AP=CP'=b,在RT△PP'C中根據勾股定理可得CP'=v(9-2a2),最後由BP的長a為整數可得AP.

【點評】

本題主要考查旋轉的性質、等腰直角三角形、勾股定理等知識點,熟練運用這些性質、定理得出a、b間的關系式是關鍵.

【點評】

本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識,解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形、學會利用分割法解決問題,屬于中考填空題中的壓軸題.

【解析】

首先過點D作DF⊥CA,垂足F在CA的延長線上,作DG⊥CB于點G,連接DA,DB,由AB為O的直徑,∠ACB的平分線交O于點D,可證得Rt△AFD≌Rt△BGD(HL),Rt△CDF≌Rt△CDG(HL),則可得AC+BC=CF-AF+AG+BG=CF+CG=2CF,△CDF是等腰直角三角形,繼而求得答案.

【點評】

此題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質.能準确作出輔助線,借助于方程求解是解此題的關鍵.

【點評】

本題主要考查圓周角定理,全等三角形的判定及勾股定理,難度适中.

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