當前位置：首頁 > 教育 > 正文

初中數學：證明兩條直線垂直的方法（上篇，數學方法技巧歸納）

證明兩直線垂直的方法有哪些？

今天我們按照《初中幾何，掌握了這套學習方法，數學會得心應手》中的“具體方法歸納法”進行歸納總結如下：

1、利用直角三角形中兩銳角之和為90°

由直角三角形的定義與三角形的内角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90° ，即如果一個三角形的有兩個角和為90°，那麼第三個角必然為90°。

2、利用全等三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。

3、利用勾股定理的逆定理證明

4、利用等腰三角形“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

5、利用菱形的對角線互相垂直證明

6、相似三角形證明

7、圓周角定理的推論：

其中方法1、2 為初一知識點；方法3、4為初二知識點；方法5、6、7為初三知識點。

由于篇幅和時間有限，在本篇文章中，我們先讨論1、2、3、4四種方法。

初中數學課堂

一、利用直角三角形中兩銳角之和為90°

例1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交邊CD于點E，F，線段AE，BF相交于點M．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）若EF＝（1/5）AD，則BC：AB的值是　 　．

（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，

∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF；

（2）解：∵在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA＝∠EAB，

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，

又∵在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，

∴DE＝CF，

∴DF＝CE，

∵EF＝（1/5）AD，

∴BC＝AD＝5EF，

∴DE＝5EF，

∴DF＝CE＝4EF，

∴AB＝CD＝9EF，

∴BC：AB＝5：9；

2、利用全等三角形

例2、如圖，正方形ABCD中，點E、F、G分别為邊AB、BC、AD上的中點，連接AF、DE交于點M，連接GM、CG，CG與DE交于點N，則結論①GM⊥CM；②CD＝DM；③四邊形AGCF是平行四邊形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（　　）個．

A．1 B．2 C．3 D．4

解：∵AG∥FC且AG＝FC，

∴四邊形AGCF為平行四邊形，故③正确；

∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND

在△ADE和△BAF中，

∵AE=BF, ∠DAE=∠ABF ,AD=AB

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AEM＝90°

∴∠EAM+∠AEM＝90°

∴∠AME＝90°

∴∠GND＝90°

∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．

∵G點為AD中點，

∴GN為△ADM的中位線，

即CG為DM的垂直平分線，

∴GM＝GD，CD＝CM，故②錯誤；

在△GDC和△GMC中，

∵DG=MG，CD=CM，CG=CG

∴△GDC≌△GMC（SSS），

∴∠CDG＝∠CMG＝90°，

∠MGC＝∠DGC，

∴GM⊥CM，故①正确；

∵∠CDG＝∠CMG＝90°，

∴G、D、C、M四點共圓，

∴∠AGM＝∠DCM，

∵CD＝CM，

∴∠CMD＝∠CDM，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，

∴DM＜AD，

∴DM＜CD，

∴∠DMC≠∠DCM，

∴∠CMD≠∠AGM，故④錯誤．

故選：B．

3、利用勾股定理的逆定理證明

4、利用等腰三角形“三線合一”證明

例4、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36，BD是∠ABC的平分線，交AC于點D，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF，求證：

（1）EF⊥AB；

（2）△ACF為等腰三角形

證明：（1）∵AB=AC ，∠BAC=36

∴∠ABC=72 ,BD是∠ABC的平分線

∴∠ABD=36

∴DA=DB

又∵E是AB的中點

∴EF⊥AB

（2）由（1）知BF是AB的垂直平分線

∴FA=FB

∴∠ABF=∠FAB=72

∴∠FAC=72-36=36

∠AFC=72-36=36（外角定理）

∴△ACF為等腰三角形

證明兩直線垂直的方法（上篇），由于篇幅和時間有限，今天就介紹到這裡，歡迎大家繼續關注，證明兩直線垂直的方法（下篇）

你可能想看：

初中數學必須掌握的9種證垂直的方法（下篇：數學方法技巧歸納）

由直角三角形的定義與三角形的内角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，∠CAB＝∠ACB：cos∠CAB＝7/8，∵ ∠CAB＝∠ACB，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為菱形，...

高中數學必修1 函數單對稱、雙對稱（證明思路、方法和技巧歸納）

則有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x)：∵f(x)上關于點（a,∴有2b-y=f(2a-x)，b）對稱的表達式是y=f(x)=2b-f（2a-x），也可表示為f(a...

什麼是數學證明？四色猜想的證明為何震動了整個數學界？

同時他還指出初等代數和初等幾何範圍的定理證明是可以實現機械化的，他僅用幾分鐘的時間就在計算機上證明了羅素和懷特海合著的《數學原理》中的300多條定理，但是這一切技術性的工作并沒有太多地引起數學界人士關...

初中數學：12個角度剖析初中數學旋轉模型（一）

【小結】本題考查了折疊的性質、旋轉的性質、勾股定理的應用，【小結】考查圖形的旋轉，【小結】此題主要考查了矩形的性質以及坐标與圖形的性質和等腰三角形的性質根據△ODP 是腰長為 5的等腰三角形進行分類讨...

數學揭秘，為什麼是0的階乘是1？通過數學方法（伽馬函數）證明

從階乘的定義開始，一個非負整數n的階乘，是所有小于或等于n的正整數的積。=(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1) 這就得到了一個遞歸關系。包含三個元素的集合{a,c}有六種排列...

初中數學學霸會用矩形的性質解決簡單的證明和計算問題

1、掌握矩形的概念、判定與性質，理解矩形與平行四邊形的之間的聯系；2、會用矩形的性質解決簡單的證明和計算問題；3、從矩形與平行四邊形的區别與聯系體會特殊與一般的關系，1.利用矩形的性質解決邊和角的問題...

琚淩傑：總結一些微信群運營管理的方法技巧和經驗

其實歸根到底的目的就是為了推廣，那這樣的群就是用來推廣産品、個人品牌等等，其實就是做推廣，在做推廣的同時也建立了一個大家平等交流的平台。做好微信群運營的方法技巧和經驗。1、做好微信群定位目标用戶定位充...

數學方法 | 一般化與特殊化（“數學思想方法導引”第23講/共36講）

在數學研究及數學問題解決中，一般化與特殊化是常用的方法與手段。它是一種數學思維方法。普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合;一般化在數學學習中”有助于數學規律的發現和有助于解題路徑的獲...

數學方法 | 數形結合（“數學思想方法導引”第26講/共36講）

數缺形時少直觀“形離數時難入微，數形結合是數學中常用的思想方法，它是通過數、形間的對應和互助來研究問題并解決問題的方法。中的一些量（如距離、角度、面積、體積等）在一定單位制中可分别對應一些确定的，也可...

數學方法 | 幾何變換法（“數學思想方法導引”第29講/共36講）

指的是将幾何圖形按某種法則或規律變成另一個幾何圖形的過程。所以幾何變換就是兩個圖形點之間的一一對應，初等幾何變換在平面上主要有全等變換、相似變換。兩點間的距離是全等變換的基本不變量。圖形經全等變換後與...

數學方法 | 反例（“數學思想方法導引”第34講/共36講）

一般是指建立在數學證實的理論與邏輯推理基礎上并具有一定否定作用的例子。實際應用中隻構造出一個反例即可。而數學發現也是朝着兩個主要目标——提出證明和構造反例，反例有助于發現原有某些數學理論的局限性”反例...

初中數學:145條幾何題公式定理彙總,轉給孩子,初中幾何再也不愁了

數學作為我們學習過程中的一個重點科目，在學習的時候就一定要将我們的基礎知識内容以及重點考點這些掌握到位，初中數學主要就是銜接我們的小學數學和初中數學的，初中數學不僅是将小學基礎知識内容進行反饋，也是為...

所有初中數學學霸都要學會的最新幾何全等輔助線添加技巧核心精髓

學生剛剛接觸幾何模型時，一部分學生還比較感興趣，但是大部分學生對于幾何模型比較頭疼，幾何模型并不是要求學生對于知識點以及概念掌握就行，還需要深入的刨析和研究才能更好的掌握。沒有一個學生能夠忽略幾何模型...

初中數學-培優：因式分解十二大技巧(4~6)

因式分解十二大技巧(4~6)，在分組分解時，常常将項數平均分配.但是，方法是先将一項拆為兩項.如果這個整式是按某一字母的升幂或降幂排列的:使得分成的每一組都有公因式可提或者可以應用公式.對于按某一字母...

濃縮105個初中數學常考幾何模型輔助線添加技巧精髓以及解題思想

每年的中考數學題型都在千變萬化，這樣很難應對題型的變化。我們中考數學題庫成千上萬，真正到了中考到來，進入考場面對如此新題型隻會無動于衷，必然很難突破高分。無論是中考還是高考，要想在中考數學這個科目“我...

初中數學：因式分解解題技巧（第1講）-版本2

因式分解解題技巧（第1講），1.多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活，不僅是掌握因式分解内容所必需的，2.初中數學教材中主要介紹了提取公因...

小學一年級語文拼音學習方法技巧大全

二、聲母【21個輔音+零聲母y、w】，舌面前不送氣清塞擦音。舌尖前不送氣清塞擦音，舌尖前送氣清塞擦音。zhi舌尖後不送氣清塞擦音。chi舌尖後送氣清塞擦音。shi舌尖後清擦音，ei、ei、ei、e+i...

(原創)紅球選号9.11進制及合數運用理論 - 雙色球方法技巧 - 樂彩論壇 |樂彩論壇|...

創)紅球選号9.11進制及合數運用理論，本人研究雙球的時間并不算很長，所以綜合起來的話您的詞語已經被中彩論壇過濾，本人覺得最具參考價值的還是9進制11進制及其合數運用理論了，但是合數運用理論實在是難懂...

初中數學輔助線.專題學習，很多學生在數學...

初中數學輔助線.專題學習，很多學生在數學幾何知識點上，來看看這6張圖，肯定會讓你豁然開朗起來！原來數學也挺簡單的！三角形4個輔助線定理非常基礎，一定要牢記在心！考試的時候經常出現，平行四邊形的5個輔助...

人教版九年級英語知識點歸納，短語總結，語法歸納！

人教版九年級英語知識點歸納?短語總結，1. good learners 優秀的學習者 2. work with friends 和朋友一起學習；25.make word cards 制作單詞卡片 26...

【解題研究】中考數學幾何必會模型：三垂直全等模型

許興華數學：1458篇原創内容，公衆号：今天老師給大家整理了中考數學需要掌握的幾何模型：助力中考；三垂直全等模型“中考數學幾何必會模型”三垂直全等模型，（4）投稿郵箱，或加主編微信xuxinghua1...

初中數學72個解題思維與方法——巧思妙解篇

用常規方法解決不易奏效時，某些求代數式的值的題目。不易直接代入求解，需認真分析題目的特點，使問題巧妙獲解“數學問題中，如果已知關系式存在幾個變量，四、變換主元巧解題”變換問題中的主元。五、利用非負數的...

初中數學幾何歸類研讨——最值問題的5大方法總結

最值問題，隻要會分析題目所屬于的類型。及時進行對應的方法解決即可，幾何圖形中的某幾個量(如線段、角、面積等)在大小的變化過程中，能夠取得最大值或最小值。統稱為幾何最值問題，實際上解決幾何最值問題，隻涉...

初中數學：代數式求值19大方法全梳理

代數式求值19大方法全梳理，代數式求值問題是曆年中考試題中一種極為常見的題型，它除了按常規代入求值外，靈活運用恰當的方法和技巧，下面介紹幾種常用的求值方法，本題也可利用等比性質來解，求解等比條件求值問...

初中數學常用幾何模型及構造方法大全，掌握它輕松搞定壓軸題！

相鄰等線段繞公共頂點旋轉，翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等：倍長中點相關線段轉換成旋轉全等問題，旋轉半角模型。旋轉半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角”模型變形主要是兩個正...

初中數學：求圓中陰影部分面積的十大實用方法

且有較高的綜合性．由于所求的圓中陰影部分面積一般都是不規則圖形，需對問題的條件、結論和圖形進行變形、轉換，把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積來解決．本文結合具體實例，對于不規則圖形實施分割、疊合後...

ABCD三角形ADCM

上一篇
開胃解膩紅棗玉米小窩頭，一盤可不夠

下一篇
青青草色　　文/天涯書境

有話要說...

最新文章

取消
掃碼支持 支付碼