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【數學之美之神奇的數】九九歸一與完美無缺

Back To 2049 2018-07-12

九九歸一與完美無缺00:0012:43


【數學之美之神奇的數】

九九歸一與完美無缺

知識就是力量,歡迎回到2049.

數字王國無窮無盡,而這其中更有一些數有着非凡的神奇之處。羅素曾經說:數學不僅擁有真,而且擁有非凡的美,一種如雕塑般冷峻而樸素的美,一種屹立不搖的美。極其純淨,能夠臻于一種不可撼動的極緻,就如同隻有最偉大的藝術才能呈現的那樣。

羅素的這段話雖然看不太懂,但歸納中心思想,無非就是“數學真TM美”的意思,美到不知道高到哪裡去了。所以我打算在羅素的指引下,也為大家尋找一些數學上的美與神奇,“數學之美”這一系列節目就由此誕生,不過大家放心,與星座系列不一樣的是,這個系列節目将會不定期推送,不會連起來讓大家感到乏味枯燥,而之所以不定期推送,其深層次原因還在因為我現在所想到的就夠一期節目的體量,現在是短了就滿足不了大家了,我也感到很捉急啊。

所以數學之美,我們先從兩個神奇的數開始。說“兩個數”其實不準确,第一個确實是一個數,第二個則是一類數。好了廢話不多說了,正八經兒整吧。

第一個數是九九歸一的1,這是一個壓抑不住的數,通過某種運算,我們總能得到它。具體是這樣的,首先大家在心裡選擇任何一個數,特此忠告,這個數最好别選太大,否則你今天就不用幹别的了。選中之後,你要遵守這樣的基本法,如果你選的這個數是奇數,那麼就乘以3再加上1,如果是偶數,那麼就除以2。你所得到的結果,同樣要按照這一個基本法來。我相信,無論你選擇的數是幾,那麼在不斷重複這個過程之後,你最後得到的結果一定是1。

比如說我現在選擇12這個數。12是偶數,所以12÷2=6,6也是偶數,所以再除以2,6÷2=3,3是奇數,接下來就要換第一條基本法了,3×3+1=10。10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1。完成任務。

人們相信,無論我們從哪個數開始,最終都會到達1。你可能不相信,但是你換個數試一試确實如此,比如說17,那麼會需要12步來得到1。而如果從43開始,則會需要29步。可以說,這是非同尋常的。

那麼這個定律真的對一切數都成立嗎?可惜的是,這個問題看似簡單,但從1930年以來,數學家們就一直關切并研究着這個問題,而且時至今日,仍然沒有人找到任何解答。盡管有人為證明這個猜想提供了數額不菲的種種金錢獎勵,但至今沒有一個大腦可以解開謎題。在數學中,這個問題被稱為“3n+1”問題,現在人們利用計算機已經證明,對于一直到10的18次方-1的所有數,這個定律都成立。

而且我們還會發現,無論怎樣,我們對會止步于最後那個4-2-1的循環。而如果你試圖在得到1之後繼續進行下去,那麼也一樣,因為3×1+1還是等于4,最後的結果還是1。

今天要說的第二個數是“完滿數”。在數學中,是否存在着某件事物比其他事物更加完滿呢?答案是存在的,因為不存在就沒法講了。根據傳統數論,存在着一個被稱為“完滿數”的群體,它被定義為所有真因子恰好等于其本身的數,所謂的“真因子”指的就是除了這個數本身之外的所有因子。最小的完滿數是6,因為6=1+2+3,而1,2,3正是6的所有真因子。下一個比較大的完滿數是28,28=1+2+4+7+14。再下一個是496,496=1+2+4+8+16+31+62+124+248。

對于前四個完滿數,古希臘人表示他們早就知道了。比496大的是8128。而提出一條定理來概括如何找到一個完滿數的數學家是歐幾裡得,歐幾裡得發現,如果2的k次方-1是一個素數,那麼2的k次方-1再乘以2的k-1次方就是一個完滿數。也就是說,每當我們找到一個k的值,使得2的k次方-1的計算結果是一個素數,那麼我們就可以構造出一個完美數。也就是說,每當我們找到一個梅森素數的時候,其實就找到了一個完滿數。

完滿數公式

利用歐幾裡得的這種産生完滿數的方法,我們可以得到這樣一個完滿數的列表,那就是當k=2,3,5,7,13,17,19時,分别得到完滿數6,28,496,8128,3355 0336,85 8986 9056以及1374 3869 1328。

通過觀察,我們會發現完滿數的一些特性。它們似乎都是偶數,而且都以6或者是28來結尾。這些完滿數似乎還都是三角形數,也就是連續自然數之和,比如說6=1+2+3,28=1+2+3+...+7,496+1+2+3+...+31。更進一步的,我們還會發現,在6之後的每個完滿數都是奇數數列的立方和,也就是1的立方+3的立方+5的立方+7的立方+9的立方+11的立方+...。比如說28=1的立方+3的立方,而496=1的立方+3的立方+5的立方+7的立方。

那麼歐幾裡得給出的尋找完滿數的公式是不是正确的呢?同樣很遺憾,目前還無法得到證明,于是數學家又開始用老辦法,用計算機嗷嗷算來進行驗證,試圖找出反例。另外,算到現在我們還不知道是否存在奇數完滿數。

好了時間還有,為了防止你說我太水,我們再來個加餐,這是一類非常友好的數,這就是“親和數”。說這個親和數友好并不是說我們看起來對我們友好,那要是對數學頭疼的朋友的話,估計沒一個數是友好的。在數學中,數學家認定,如果第一個數的真因子之和等于第二個數,并且第二個數的真因子之和也等于第一個數的話,那麼這兩個數我們就說是“親和數”,可見,親和數并不是一個數,而是一對數。

第一對親和數由畢達哥拉斯發現,這對數是220與284。220的真因子為1,2,4,5,10,11,20,22,44,55和110。它們的和是284。而284的真因子為1,2,4,71和142,它們的和為220。第二對親和數由費馬發現,這哥倆是17296和18416。17296的真因子為1,2,4,8,16,23,46,47,92,94,184,188,368,376,752,1081,2162,4324和8648,這些數的和為18416。而18416的真因子為1,2,4,8,16,1151,2302,4604,9208,這些數的和為17296。

還有幾對親和數,比如1184和1210,2620和2924,5020和5564,6232和6368,10744和10856等等等等。

那麼尋找親和數有沒有什麼公式呢?答案是有的,大約公元850年,阿拉伯數學家塔别脫-本-科拉就發現了親和數公式,後來這稱為“塔别脫-本-科拉法則”。這個法則表述起來比較費勁。設a=3×2的n次方-1,b=3×2的n-1次方-1,c=3的平方×2的2n-1次方-1。其中,n是一個大于等于2的整數,如果a,b,c都是素數,那麼2的n次方乘以ab和2的n次方乘以c這對數,就是親和數。

親和數公式

可見即便有這樣的公式,找到親和數也是十分費勁的,因為要找到一個n使得a,b,c都是素數,這是十分不容易。關于這一點還不得不提身經百戰的歐拉,1750年,歐拉以其超凡的數學思維,一口氣抛出了60對親和數,轟動了整個數學界。

目前,人們已找到了1200多萬對親和數。但親和數是否有無窮多對,親和數的兩個數是否都是或同是偶數,或同是奇數,有沒有一奇一偶的情況,以及是否存在互素的親和數,這些問題還有待數學家的繼續探索。

要問我今天所說的這些有什麼意義,我也不知道,我也不是數學家,我也不是科普工作者,所以就想看美女單純覺得好看,而并不會不想這姐姐是怎麼進化的一樣,我就是單純覺得這些數很有意思,僅此而已。如果您想聽高大上的科普節目,抱歉2049也許不是您的正确選擇。我們就是一檔以胡編亂造的科學話題為主,兼具其他話題的低俗化瞎扯淡的娛樂節目,以供您在路上、睡覺前和拉屎時消遣用的。如果能再增加一點您茶餘飯後的談資,以及撩妹時的話題,那麼想必是極好的,談不上功德無量,更談不上學什麼東西,就像看這些數一樣,您覺得挺好玩,能打發打發時間,我們的目的就達到了。

好了總結一下今天的,就和很多還處于猜想中的假說一樣,并不是數學中我們所知道或者認為正确的一切都得到了證明,不過在最終證明之前,這并不妨礙我們去接受它們。同樣的,我們也要清楚的是,也許有一天,會有人發現一個反例使得這樣的命題不再成立,即便是在我們接受了它以後。

嗯,再補一種友好的數對,也很有意思,6205等于38的平方加69的平方,而3869則等于62的平方加05的平方,類似的5965等于77的平方加06的平方,7706則等于59的平方加65的平方。有沒有什麼規律或者公式,數學家都沒找到,我就更不知道了。

好了今天的節目就到此為止了,最後做個預告,明天周五的長篇節目将把我們最近一系列長篇節目的大招推向頂峰,這也是2049開播2年多,900多期節目以來,史無前例的鴻篇巨制,明天見。

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