【數學之美之神奇的數】九九歸一與完美無缺

九九歸一與完美無缺00:0012:43

【數學之美之神奇的數】

九九歸一與完美無缺

知識就是力量，歡迎回到2049.

數字王國無窮無盡，而這其中更有一些數有着非凡的神奇之處。羅素曾經說：數學不僅擁有真，而且擁有非凡的美，一種如雕塑般冷峻而樸素的美，一種屹立不搖的美。極其純淨，能夠臻于一種不可撼動的極緻，就如同隻有最偉大的藝術才能呈現的那樣。

羅素的這段話雖然看不太懂，但歸納中心思想，無非就是“數學真TM美”的意思，美到不知道高到哪裡去了。所以我打算在羅素的指引下，也為大家尋找一些數學上的美與神奇，“數學之美”這一系列節目就由此誕生，不過大家放心，與星座系列不一樣的是，這個系列節目将會不定期推送，不會連起來讓大家感到乏味枯燥，而之所以不定期推送，其深層次原因還在因為我現在所想到的就夠一期節目的體量，現在是短了就滿足不了大家了，我也感到很捉急啊。

所以數學之美，我們先從兩個神奇的數開始。說“兩個數”其實不準确，第一個确實是一個數，第二個則是一類數。好了廢話不多說了，正八經兒整吧。

第一個數是九九歸一的1，這是一個壓抑不住的數，通過某種運算，我們總能得到它。具體是這樣的，首先大家在心裡選擇任何一個數，特此忠告，這個數最好别選太大，否則你今天就不用幹别的了。選中之後，你要遵守這樣的基本法，如果你選的這個數是奇數，那麼就乘以3再加上1，如果是偶數，那麼就除以2。你所得到的結果，同樣要按照這一個基本法來。我相信，無論你選擇的數是幾，那麼在不斷重複這個過程之後，你最後得到的結果一定是1。

比如說我現在選擇12這個數。12是偶數，所以12÷2=6，6也是偶數，所以再除以2，6÷2=3，3是奇數，接下來就要換第一條基本法了，3×3+1=10。10÷2=5，5×3+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。完成任務。

人們相信，無論我們從哪個數開始，最終都會到達1。你可能不相信，但是你換個數試一試确實如此，比如說17，那麼會需要12步來得到1。而如果從43開始，則會需要29步。可以說，這是非同尋常的。

那麼這個定律真的對一切數都成立嗎？可惜的是，這個問題看似簡單，但從1930年以來，數學家們就一直關切并研究着這個問題，而且時至今日，仍然沒有人找到任何解答。盡管有人為證明這個猜想提供了數額不菲的種種金錢獎勵，但至今沒有一個大腦可以解開謎題。在數學中，這個問題被稱為“3n+1”問題，現在人們利用計算機已經證明，對于一直到10的18次方-1的所有數，這個定律都成立。

而且我們還會發現，無論怎樣，我們對會止步于最後那個4-2-1的循環。而如果你試圖在得到1之後繼續進行下去，那麼也一樣，因為3×1+1還是等于4，最後的結果還是1。

今天要說的第二個數是“完滿數”。在數學中，是否存在着某件事物比其他事物更加完滿呢？答案是存在的，因為不存在就沒法講了。根據傳統數論，存在着一個被稱為“完滿數”的群體，它被定義為所有真因子恰好等于其本身的數，所謂的“真因子”指的就是除了這個數本身之外的所有因子。最小的完滿數是6，因為6=1+2+3，而1,2,3正是6的所有真因子。下一個比較大的完滿數是28，28=1+2+4+7+14。再下一個是496，496=1+2+4+8+16+31+62+124+248。

對于前四個完滿數，古希臘人表示他們早就知道了。比496大的是8128。而提出一條定理來概括如何找到一個完滿數的數學家是歐幾裡得，歐幾裡得發現，如果2的k次方-1是一個素數，那麼2的k次方-1再乘以2的k-1次方就是一個完滿數。也就是說，每當我們找到一個k的值，使得2的k次方-1的計算結果是一個素數，那麼我們就可以構造出一個完美數。也就是說，每當我們找到一個梅森素數的時候，其實就找到了一個完滿數。

完滿數公式

利用歐幾裡得的這種産生完滿數的方法，我們可以得到這樣一個完滿數的列表，那就是當k=2,3,5,7,13,17,19時，分别得到完滿數6,28,496,8128,3355 0336,85 8986 9056以及1374 3869 1328。

通過觀察，我們會發現完滿數的一些特性。它們似乎都是偶數，而且都以6或者是28來結尾。這些完滿數似乎還都是三角形數，也就是連續自然數之和，比如說6=1+2+3，28=1+2+3+...+7，496+1+2+3+...+31。更進一步的，我們還會發現，在6之後的每個完滿數都是奇數數列的立方和，也就是1的立方+3的立方+5的立方+7的立方+9的立方+11的立方+...。比如說28=1的立方+3的立方，而496=1的立方+3的立方+5的立方+7的立方。

那麼歐幾裡得給出的尋找完滿數的公式是不是正确的呢？同樣很遺憾，目前還無法得到證明，于是數學家又開始用老辦法，用計算機嗷嗷算來進行驗證，試圖找出反例。另外，算到現在我們還不知道是否存在奇數完滿數。

好了時間還有，為了防止你說我太水，我們再來個加餐，這是一類非常友好的數，這就是“親和數”。說這個親和數友好并不是說我們看起來對我們友好，那要是對數學頭疼的朋友的話，估計沒一個數是友好的。在數學中，數學家認定，如果第一個數的真因子之和等于第二個數，并且第二個數的真因子之和也等于第一個數的話，那麼這兩個數我們就說是“親和數”，可見，親和數并不是一個數，而是一對數。

第一對親和數由畢達哥拉斯發現，這對數是220與284。220的真因子為1,2,4,5,10,11,20,22,44,55和110。它們的和是284。而284的真因子為1,2,4,71和142，它們的和為220。第二對親和數由費馬發現，這哥倆是17296和18416。17296的真因子為1,2,4,8,16,23,46,47,92,94,184,188,368,376,752,1081,2162,4324和8648，這些數的和為18416。而18416的真因子為1,2,4,8,16,1151,2302,4604,9208，這些數的和為17296。

還有幾對親和數，比如1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6368，10744和10856等等等等。

那麼尋找親和數有沒有什麼公式呢？答案是有的，大約公元850年，阿拉伯數學家塔别脫-本-科拉就發現了親和數公式，後來這稱為“塔别脫-本-科拉法則”。這個法則表述起來比較費勁。設a=3×2的n次方-1，b=3×2的n-1次方-1，c=3的平方×2的2n-1次方-1。其中，n是一個大于等于2的整數，如果a,b,c都是素數，那麼2的n次方乘以ab和2的n次方乘以c這對數，就是親和數。

親和數公式

可見即便有這樣的公式，找到親和數也是十分費勁的，因為要找到一個n使得a,b,c都是素數，這是十分不容易。關于這一點還不得不提身經百戰的歐拉，1750年，歐拉以其超凡的數學思維，一口氣抛出了60對親和數，轟動了整個數學界。

目前，人們已找到了1200多萬對親和數。但親和數是否有無窮多對，親和數的兩個數是否都是或同是偶數，或同是奇數，有沒有一奇一偶的情況，以及是否存在互素的親和數，這些問題還有待數學家的繼續探索。

要問我今天所說的這些有什麼意義，我也不知道，我也不是數學家，我也不是科普工作者，所以就想看美女單純覺得好看，而并不會不想這姐姐是怎麼進化的一樣，我就是單純覺得這些數很有意思，僅此而已。如果您想聽高大上的科普節目，抱歉2049也許不是您的正确選擇。我們就是一檔以胡編亂造的科學話題為主，兼具其他話題的低俗化瞎扯淡的娛樂節目，以供您在路上、睡覺前和拉屎時消遣用的。如果能再增加一點您茶餘飯後的談資，以及撩妹時的話題，那麼想必是極好的，談不上功德無量，更談不上學什麼東西，就像看這些數一樣，您覺得挺好玩，能打發打發時間，我們的目的就達到了。

好了總結一下今天的，就和很多還處于猜想中的假說一樣，并不是數學中我們所知道或者認為正确的一切都得到了證明，不過在最終證明之前，這并不妨礙我們去接受它們。同樣的，我們也要清楚的是，也許有一天，會有人發現一個反例使得這樣的命題不再成立，即便是在我們接受了它以後。

嗯，再補一種友好的數對，也很有意思，6205等于38的平方加69的平方，而3869則等于62的平方加05的平方，類似的5965等于77的平方加06的平方，7706則等于59的平方加65的平方。有沒有什麼規律或者公式，數學家都沒找到，我就更不知道了。

好了今天的節目就到此為止了，最後做個預告，明天周五的長篇節目将把我們最近一系列長篇節目的大招推向頂峰，這也是2049開播2年多，900多期節目以來，史無前例的鴻篇巨制，明天見。