吳正憲：“一剝、一量”識周長 ——《面與周長》課堂實錄

北京教育科學研究院 吳正憲 執教

首都師範大學附屬順義實驗小學 王秀傑 張麗整理

一、對話交流，摸清底數, 找準起點。

上課伊始，吳老師在黑闆上貼出三幅圖紙（圖1）。

（圖1）

師:同學們，你們看到了什麼?

（吳老師在關注兒童的關注。）

生1：我看到了三張紙片的顔色有紅色、黃色和粉色。

生2：我看到了圖形上面都有平平的面。

生3：我還看到了它們形狀不同，有是正方形、有長方形還有三角形。

……

師：真好，你們不僅看到紙片上有不同的顔色，還看到了面， 發現了這些紙片長的樣子不一樣，是不同的形狀。

師繼續：如果以正方形紙片為例，你一眼就看到了它的什麼？（聚焦問題）

生4：我一眼就看到了正方形紙片上有面，是平的。

（首先映入兒童眼簾的就是“面”這個強勢的幾何要素，可是今天這節課學習的内容認識周長啊！我們替吳老師捏了一把汗。）

師：除了看到了面，你們還有新的發現嗎？

（吳老師娓娓道來，耐心引導，靜靜等待。）

生5：我看見了四條邊。

師：請你到這裡來指一指。（生5邊指邊數出4條邊。但是指的軌迹沒能形成“周”。）

生6：我還看到了正方形上有四個直角。

生7：我看到了有四個頂點。

随着同學們的回答，吳老師闆書：面、邊、角、點（圖2）。并贊賞地說：“很好，你們用一雙數學的眼睛去觀察，有了這麼多新發現！”正是有了老師的等待和導引，孩子們才有機會開始尋找圖形中的“面、邊、角、點”等幾何要素。

（圖2）

【評析：借助對三個圖形的觀察，了解兒童對圖形的認識底數，找準兒童學習的起點，激活兒童對圖形認識的基本經驗。】

二、觸手可及，讓“面”與“周”浮出水面。

1、摸一摸，初步感受“面”與“周”的存在。

接着上面“生5”的話題開始了新的讨論。

師：剛才“生5”摸到了正方形紙片的四條邊，你還可以怎樣按照什麼樣的順序指一指這四條邊？

生：我從這裡開始，一條邊、兩條邊……我也摸到四條邊。

這位學生邊說邊用手描出了一周的邊線。

師：（吳老師随手在起點處标注一面小紅旗。）再次引導觀察：

你們注意到了嗎？他在指‘邊’的時候，從起點開始，(老師放慢了語速) 又回到了起點(幾乎全班孩子一起喊了出來) 。正好指了……”“一圈。”衆生異口同聲。“這個‘一圈’在數學上也有個名字，叫‘一周’。一個圖形一圈的邊線就叫做一周。”

老師引導孩子們觀察數學書、文具盒、課桌、紙片等進行觀察，找一找封面上的“周”與“面”，再用手摸一摸。

師：（老師邊說，邊操作）你們伸展手掌摸到的就是這個平面圖形的面（指整個圖形的面），這你們用一個手指觸摸的這一圈就是這個平面圖形的周（指一周的邊線）。

（闆書：面與周）

【評析：不回避兒童首先看到的“面”，面對兒童的認知起點，迎面而上。調整既定的教學設計，順應兒童的思維，抓住核心概念，引發兒童思考。通過摸一摸的活動，初步感受“面”與“周”的存在。教學活動把抽象的幾何要素變成了兒童觸手可及的自然體驗。“面”與“周”順理成章地一起走進了孩子們的數學世界。觸摸中感受，感受中理解。為後續圖形與幾何的學習奠定了重要基礎。】

2、 比一比，初步認識“面”與“周”的區别。

辨區别

師：剛才你們自己都摸到了圖形的面與周，周和面是一回事兒嗎？

衆生：（紛紛搖頭，小聲嘟囔）：不一樣。

師：哪裡不一樣？小組讨論交流，說說自己的想法。

全班彙報：

生1：面就是表面，周就是旁邊。

生2：周就是邊界，面在裡邊。

生3：周是圖形一圈的邊界。（補充的好）

生4：我認為周包圍着面。

師：周包圍着面，（面向大家）你們懂他的意思嗎？

生4：就是面在周的裡邊，周在面的外邊。

教室裡響起了掌聲，看來孩子們對二者的關系有了進一步的了解。

找聯系

吳老師沒有停止追問，繼續引導孩子摸一摸“面”、指一指“周”，并說說它們之間的聯系。

生5：面是平平的一大片。

生6：周好像是細細的一條線。

生7：面是平的，周是彎彎的一圈。

師：看來面是面，周是周，它們之間沒有關系。同意嗎？

生8：不同意！周在面的身上，周給面包上了。

生9：沒有面就沒有周，沒有周也沒有面。

生10：周和面不能分家，它們誰也離不開誰，是連着的一對好朋友。

師：這詞兒用的真好。

吳老師面露笑容：正像你們所說的，它們不一樣。面是平平的面，周像一條細細的線首尾相接圍攏着，面是面，周是周。可是，你們又發現‘面’長在 ‘周’的裡面，‘周’長在‘面’的外面，它們像一對親密的兄弟。看來面與周既可以分得清清白白，又可以連得緊緊密密。

衆生：它們又有分，又有合。

師：你們的感覺好極了！今天我們就一起來研究這些大小不一樣的平面圖形上的周。

【評析：兒童對“面”的感知是顯性的，對“周”的感知是内隐的。吳老師直面兒童的認知難點，不回避本來本節課内容不涉及的強勢要素的“面”，努力凸現出弱勢要素的“周”。教學中，讓兒童在“摸一摸”的活動中，初步感受“面”與“周”的存在；讓兒童在“比一比”的活動中，初步感受“面”與“周”的區别與聯系。

“面”與“周”有效地合一，又清晰地分離，分分合合，合合分分，環環相扣，抽絲剝繭悟概念。】

三、 “一剝”、“一量”識周長。

1. 剝離邊線， 獲得“一周” （明确研究對象）

師：請大家仔細觀察（圖3），我們把這個正方形一周的邊線完完整整地取下來，想一想，從哪裡開始，哪裡結束？

（圖3）

孩子們帶着疑惑的目光看着吳老師，似乎不太相信。“一周的邊線在哪裡？怎麼能取下來呢？”

孩子們帶着好奇，期待着…… 隻見吳老師從選定的起點開始，慢慢地把事先粘貼好的不易察覺的邊線一點一點往下剝，一邊剝還一邊問：“幾條邊了？”随着吳老師剝，孩子們數着：“一條邊、兩條邊、三條邊。”（如圖4）剝完三條邊時吳老師停下來問：“現在是一周嗎？”

生：不是。繼續剝。

（圖4）

當吳老師剝下最後一條邊線，回到起點時（圖5），孩子們興奮地喊道：“停，正好是一周了！”

師：“這一周是幾條邊圍成的？”

生：4條邊。

（圖5）

吳老師将剝下來“一周”的邊線貼在黑闆上（圖6）。邊貼邊說：“這一周本來我們是不容易看不到的，但是這條細細的邊線就這樣被我們一點一點地剝下來了。這條線段是這個正方形的什麼呢？”

生：一周。

被剝下來表示正方形“一周”的邊線活生生地躍然在黑闆上。

（圖6）

闆書：一周

2、 測量邊線， 獲得“周長” （确定測量對象）

吳老師指着正方形接着問：“這是根據一塊正方形的小手絹畫出的圖形，現在想在手絹的一周縫上一條彩色的花邊兒。你們最想知道什麼？”簡單的一問，巧妙地讓孩子産生了度量的需求。

生：這一周的花邊兒有多長？

師：要想知道一周有多長，有什麼辦法？

生：得用尺子量一量。（兒童已有測量線段的經驗被激活）

在吳老師的引導下孩子量出剝下來的“一周”邊線長78厘米。随即，将測量的數據記錄在黑闆上。（圖7）

（圖7）

師：這78厘米表示什麼意思？

生：這條線段長78厘米。

師：這可不是一條随随便便的一條線段，這條線段是從哪裡剝下來的？這78 厘米又表示什麼意思？

生：這條線段是從正方形一周剝下來的，78厘米是正方形一周的長度。

師：太好了，你能給這個長度起個名字嗎？

生：正方形一周的長度。

師：好，正方形一周邊線的長度，我們就說是正方形的周長。

闆書：正方形的周長

【評析：老師精心設計教具，把“一周的邊線”活生生地剝離出來，讓看不見的“周”變得清晰可見。在建立“一周”概念的基礎上，引導兒童通過度量，獲得結果，從而理解“周長”。在這樣的活動中兒童深刻認識到：周長的研究對象是一周的邊線，周長是對一周長度的刻畫，是通過測量得到的結果，真切感受到度量對于周長的重要意義。】

3、在獲得多種圖形的周長中，抽象出“周長”概念

長方形周長：

（圖9）

接着，吳老師指向長方形：你們怎樣獲得這個長方形（圖9）一周的長度呢？

生：把一周的邊線剝下來拉直，量一量。

吳老師和孩子們一起慢慢地把這個長方形“一周”的邊線剝下來，粘貼在黑闆上。一邊剝一邊讓孩子們閉上眼睛想象，展開後什麼樣态。當黑闆上出現了長方形一周的線段時，吳老師停下來：“不急，你們先估一估，它會比78cm長一些，還是短一些呢？”

生：長一些！

師：你根據什麼判斷的？

生：兩條線段一比較，明顯的看出長方形一周的線段長。

師：好，有道理。長方形一周的線段多長呢？

測量結果正好是100厘米。吳老師笑着說：“這100厘米叫什麼呢？”

生：長方形的周長。

此時，同學們對“一周”和“周長”這樣易混的概念已經可以初步正确辨析了。

（圖10）

三角形周長、葉子的周長

吳老師接着指向三角形和葉子問：你能獲得它們周長嗎？有什麼辦法？

根據前面的經驗，同學們很快将三角形（圖11）和葉子（圖12）的邊線剝了下來，貼在黑闆上。在估測之後，測量出兩個圖形的周長分别是58厘米和30厘米。

（圖11）

（圖12）

回顧小結。

師：78厘米表示的是正方形的周長、100厘米表示的是長方形的周長、58厘米表示的是三角形的周長……你們能總結一下，到底什麼叫做周長嗎？

經過讨論，得到周長概念。

闆書：周長。

師：回顧一下你們是怎麼獲得這些圖形的周長的呢？

經過讨論，認為四步完成：

1、确定測量對象；

2、找好測量工具；

3、選擇測量單位；

4、獲得測量結果；

師：孩子們越學越有味道，對周長的理解越來越深刻。

（圖13）

【評析：在剝離、測量不同圖形“一周”邊線的過程中，再次深化理解了“一周”、“周長”等概念。在不斷對比概念的過程中，體會到“周”是測量的對象，“長”是測量的結果，周長的本質即封閉圖形一周長度的刻畫。滲透度量意識。“周長”的概念潛移默化地深入到孩子心中。】

四、結合實際，深化理解核心概念

1.想辦法獲得數學書封面的周長。

要求獨立觀察、測量，從不同角度計算出結果。

師：數學書上沒有粘貼着“看得見、摸得着”的一圈的邊線，你們是怎麼測量它的周長呢？怎麼獲得周長的結果？小組交流。（略）

2、真實情境中辨析概念

學校操場跑道（圖14）、（圖15）、（圖16），小明分别沿着三種不同的路線（白色标記）跑步鍛煉，請問這位同學跑的是一周嗎？你怎樣分析這個問題？

（圖14-）--（圖15）

（圖16）

讨論中，對于（圖15）、（圖16）的判斷正确率幾乎是百分之百 ，而讨論的焦點集中在（圖14）。小明跑過的白色軌迹到底是不是一周呢？

反方：小明跑過的白色軌迹不是一周。

正方：我們認為小明跑過的白色軌迹是一周，你們為什麼說它不是一周？

反方：小明沒沿着跑道跑完一圈。

正方：請問什麼是一周？

反方：從起點開始，又回到起點，封閉上才是一周。

正方：難道（圖14）不是封閉的一周嗎？（小手比劃着）

反方：（若有所思）……

大家頓悟：小周是周，大周也是周；小周非大周，大周非小周。

哈哈，哈哈，哈哈————

沖突在笑聲中化解，思維在質疑中提升。

【評析：通過真實的情境，将數學概念與生活實際相連，感受數學知識的應用價值。兒童用數學的眼光觀察、思考，提出問題，對話質疑，解決問題。不斷完善對“一周”、“周長”核心概念的理解。提了認知水平。】

課堂回顧。

師：今天，我們首先認識了“面”與“周”。知道了如何測量平面圖形“一周”的長度，從而認識了一個新朋友——周長。要想知道“一周”有多長，需要用工具（尺子）測量。你們還有問題嗎？

生：要想知道“一周”有多長要用尺子量一量，那要想知道面有多大，是不是也得用尺子量一量啊？

師：這個問題問得好！是的，測量面的大小，也需要有工具來測量。

生：老師，這把尺子好像沒法量面，測量面大小的尺子到底什麼樣啊？

師：那把尺子到底長的什麼樣子呢？不久你們一定會尋找到它。

生：老師，是不是周長越長，面就越大呢？

生：老師，我知道面就是面積，對嗎？。

生：老師，我們家新房子裡就有面積。

生：老師，我知道面積就是平方米。

生：老師……

下課的鈴聲響了，孩子們的問題依然不斷……

就這樣，孩子們帶着疑問和好奇不舍地離開了教室。

“面積”的面紗被孩子們輕輕撩開，似懂非懂，他們根據周長是“被量出來的”推想到面積也需要測量， “量源于量”盡在其中……

【點評：吳老師與兒童的課堂簡單、深刻、樸實、自然。兒童在這裡經曆了對幾何概念從具體到抽象的認識過程，學習在這裡真正發生。

在一次次“摸一摸”中，抽象的圖形要素變成了兒童觸手可及的自然體驗。核心概念順理成章地被兒童接納，進而理解。

在“一剝、一量”的活動中，自然而深刻地認識并理解了“周長”。可謂抽絲剝繭、環環相扣、層層遞進。

在一次次比較中，将一對對易混的概念“面”與“周”；“一周”與“周長”剝離的清清白白，又合攏的恰到好處。

鈴聲響而思未斷。兒童就是在不斷發現問題、提出問題、解決問題的過程中獲得了思維的新進階。】

實現深度學習的兩個必要前提，一是教師對學情的準确把握，二是教師對學科内容的本質理解。這兩點吳老師都做到了。

認識周長，是屬于圖形的測量這一内容。周長的本質是什麼呢？是度量，是對一維圖形“線”它的長度屬性的度量，那麼長度度量的本質是給每一條線以合适的數。所以，吳老師在學生理解區分什麼是“周”和“面”之後，重點從度量的角度來認識“周長”，即一個圖形一周的長度。隻要說到度量，就要做四件事：度量對象（度量誰？）、度量單位（量的标準是什麼？）、度量工具（用什麼量？）、度量結果（量的結果是多少？）。通過這節課，在學生心裡種下了一顆“度量”的種子，後面要學習的“面積”、“體積”包括中學要學習的“速度”，“密度”等都是度量，而“度量意識”就是我們要培養學生的一個重要核心素養。吳老師對内容的深刻理解還體現在對“面”和“周”的處理上。通過“面”引入“周”，重點體會什麼是“周”，通過讓學生說一說，摸一摸，辨析“周”和“面”的聯系和區别，從而深刻的理解什麼是“周”，為後面順利引出“周長”做好準備。難道這不是深度學習倡導的要讓學生掌握“系統化、結構化的知識”嗎？很顯然，是。

從整個數學學科看，除了度量意識外這節課還關注到學生估算意識、推理能力、應用意識等核心素養的培養。

充分發揮每一個教學材料的功用，精心設計每一個體驗活動，恰到好處的追問和質疑都成為這節課的亮點。先說說教具，我就想到了吳老師想讓學生深刻理解“周”和“周長”，一定會有“把毛線從邊線上剝下來”的活動。在學生已經理解“面”和“周”是不一樣之後，緊接着問：“面”和“周”不一樣，“面”是“面”，“周”是“周”，它倆一點關系也沒有？引導學生深入辨析，這個環節的設計也是精彩紛呈。

在吳老師執教的《面與周長》這節課上，通俗易懂且又直指核心本質的語言張口就來。比如“顔色就長在這個圖形的面上”，“你們一眼就看到面了，它好像平平的、光光的”，“這個周，好像很窄，很細，它就像---一條線”，“面和周長的一樣不一樣？”，“周長在面的邊上，面被周包圍着”，“面在周的裡面，周在面的外面，面和周長的不一樣，面是面，周是周”“那這條細細的線藏在哪了？”，“我們要活生生的把那條看不見摸不着的線當衆剝下來”，“這條線是從哪裡剝下來的？”，“這長着一個醜八怪的圖形，能求它的周長嗎？”等等，就像這樣富有童趣的語言形象而生動，怎麼能不吸引學生呢？

吳老師的課堂語言不僅體現在易懂深刻，更體現在對兒童的評價激勵等價值引領上。比如“隻要你走心，我們的同學都會有提高！”，“你的感覺真好！”，“估雖然可以不準，但不能亂估！”，“任何時候，我們都不能忘了我們的初心”，“幫助人是不需要舉手的！”等等。像這樣的每一句話都體現吳老師對學生情感态度價值觀的引領，這不僅僅是數學教學，更是數學教育。