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利用圓的周長和面積竟然可以計算如此複雜的圖形，分割法的妙用

利用圓的周長和面積竟然可以計算如此複雜的圖形，分割法的妙用。大家好我是小梁老師，這節課我們繼續學習複雜圖形的周長和面積。

難題點撥①

下圖中，陰影部分的面積是100平方厘米，求圓環的面積。

解題分析：我們知道圓環的面積等于外圓面積減去内圓面積，但是這個題目中外圓和内圓大的半徑都沒有給出，所以需要間接的去求圓環面積。

設外圓半徑是R，内圓半徑是r，根據題中條件得，圖中陰影部分的面積可以表示為R²-r²＝100平方厘米。

而圓環的面積為：

πR²－πr²＝π(R²－r²)＝3.14×100＝314(平方厘米)

答：圓環的面積是314平方厘米。

想一想做一做以下對應題目：

1.下圖中，陰影部分的面積是200平方厘米，求圓環的面積。

2.下圖中，陰影都分的面積是100平方厘米，求圓環的面積。

3.下圖中，陰影部分的面積是25平方厘米，求圓環的面積。

難題點撥②

下圖中，陰影部分的周長是14.28分米，陰影部分的面積是多少平方分米?

解題分析：觀察圖中，陰影部分的周長由圓的兩條半徑和圓周長的1/4組成，圓周長1/4可由圓的半徑表示出來。因此，可設出圓的半徑，列方程求出半徑，再求陰影部分的面積。

解:設圓的半徑為r，

則圓周長的1/4為1/4×2πr＝πr/2

所以陰影部分的周長可以表示為：

2r+πr/2=14.28

解得r=4

陰影部分的面積就是:3.14×4²÷4＝12.56(平方分米)

答：陰影部分的面積是12.56平方分米。

想一想做一做以下對應題目：

1.有一個半圓形零件，周長是25.7厘米，這個半圓形零件的面積是多少平方厘米?

2.将一個圓剪拼成一個近似的長方形(如下圖)，已知周長增加了10厘米，求圓的面積。

3.下圖中，已知半圓的周長是10.28厘米，求陰影部分的面積。

難題點撥③

右圖的中間是一個邊長為3厘米的正方形。整個圖形的面積是多少平方厘米?

解題分析：這個圖形實際上是由一個正方形和

4個1/4圓組成的，它的面積就是一個正方形與4個1/4圓的面積之和。

中間正方形的邊長是3厘米，面積是3×3＝9(平方厘米)。

4個1/4圓正好是一個完整的圓，這個圓的半徑是3厘米，面積是3.14×3²＝28.26(平方厘米)。

整個圖形的面積是9+28.26＝37.26(平方厘米)

答:整個圖形的面積是37.26平方厘米。

想一想做一做以下對應題目：

1.求下面各圖中陰影部分的面積。(單位:厘米)

2.求下面各圖中陰影部分的面積。

3.下圖中陰影部分的面積是100平方厘米，圓的面積是多少?

難題點撥④

将三根一樣粗細的圓木像下圖那樣用鐵絲在兩頭各捆一圈，如果每根圓木橫截面的直徑都是3分米，那麼至少需要多長的鐵絲?

解題分析：這個題目，我們在原圖上做一些輔助線就可以看出解題思路了。

從圖中很容易看出，鐵絲的長正好是一個圓的周長，加上三條直徑的和。

一個圓的周長：3.14×3＝9.42分米

鐵絲的長度：9.42+3×3＝18.42分米

答：鐵絲的長度至少18.42分米。

難題點撥⑤

下圖中四邊形ABCD是邊長為1厘米的正方形、求陰影部分的周長。

解題分析：從圖中可以看出陰影部分的周長是由①②③④四個扇形的弧長外加扇形④的半徑減一組成。

扇形①的弧長：2×3.14×(1+1)÷4＝3.14厘米

扇形②的弧長：2×3.14×(1+1+1)÷4＝4.71厘米

扇形③的弧長：2×3.14×(1+1+1+1)÷4＝6.28厘米

扇形④的弧長：2×3.14×(1+1+1+1+1)÷4＝7.85厘米

所以陰影部分的周長是：

3.14+4.71+6.28+7.85+(1+1+1+1)＝25.98厘米

答：陰影部分周長是25.98厘米。

難題點撥⑥

一個石英鐘的時針長4厘米，經過12小時，石英鐘的時針的針尖所走過的路程是多少厘米?

解題分析：十二小時時針剛好轉過360°，也就是時針針尖的軌迹是個圓。這個題目就是讓我們求一個半徑是4厘米的圓的周長。

3.14×4×2＝25.12厘米

答：12小時後，時針走過的路程是25.12厘米。

難題點撥⑦

如圖，大圓直徑為30cm，4個小圓的直徑都是大圓直徑的一半，求陰影部分的面積。

解題分析：這個題目主要用到分割法，将原圖分割後，再重組圖形，剛好是一個正方形，如下圖所示：

所以陰影部分的面積是30×30÷2=450(cm2)

難題點撥1想一想做一做

1.3.14×200＝628(平方厘米)

2.設大正方形的邊長是A，小正方形的邊長是a，那麼大圓半徑是A/2，小圓半徑是a/2。

由題意知:A²－a²＝100平方厘米

圓環的面積是:

3.14×(A/2)²－3.14×(a/2)²＝78.5(平方厘米)

3.設大圓半徑為R，小圓半徑為r。

由題意知:R²÷2ーr²÷2＝(R²－r²)÷2＝25(平方厘米)

圓環的面積是:3.14×(R²－r²)＝3.14×25×2＝157(平方厘米)

難題點撥2想一想做一做

1.設半圓形零件的半徑是r，依據題意列方程。

2r+2π×1/2＝25.7解得r＝5

半圓形零件的面積是:1/2×3.14×5²＝39.25(平方厘米)

2.3.14(10÷2)²＝78.5(平方厘米)

3.設半圓的半徑是r。

2r+1/2×2πr＝10.28

解得r＝2

陰影部分的面積是:3.14×2²×1/2－(2+2)×2×1/2＝2.28平方厘米

難題點撥3想一想做一做

1.(1)13.76平方厘米

(2)31.4平方厘米

(3)1171.5平方厘米

2.(1)57平方厘米

(2)9.42平方厘米

3.628平方厘米

這節課的内容就講到這裡，希望在這節課你能有所收獲。下節課我們學習組合圖形的面積計算方法。我是小梁老師，下節課見！

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