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2022貴港中考數學壓軸題分析1:網格中求三角函數值

本題選自2022年貴港中考數學選擇題第11題,難度不大,但是此類問題較為常見,經常出現在選擇或者填空題中。

此類問題關鍵是确定直角三角形,利用銳角三角函數的定義進行求解。


【題目】

(2022·貴港)如圖,在4×4網格正方形中,每個小正方形的邊長為1,頂點為格點,若△ABC的頂點均是格點,則cos∠BAC的值是(  )

A.
B.
C.
D.


【答案】C

【分析】

觀察圖形發現△ABC并非直角三角形,必須構造直角三角形才行。

如圖,延長AC與正方形網格的邊線交于點D,連接BD,

即可得到△BCD為等腰直角三角形。

那麼隻需要求出AD與AB的長即可。

易得AB=5,AD=2√5。

那麼cos∠BAC=AD/AB=2√5/5。

結論就出來了。

此類問題一般是直接找格點,觀察圖中的點,找到一個合适的即可。

【方法二】

當然,格點不好找的時候,與可以直接作垂線,如下圖,過點C作CD⊥AB于D。

此時需要求出AD與AC才行。

由于CD為△ABC的高,因此求出△ABC的面積即可。

根據割補法,可以得到△ABC的面積為

S=3×4/2-1×3/2-1×2/2-1=5/2。

而AB=5,

則CD=2S/AB=1。

由于AC=√5,那麼就可以得到AD=2。

所以cos∠BAC=AD/AC=2/√5=2√5/5。


【方法三】

如果有的同學學過高中的向量知識,直接可以用向量的坐标公式進行求解。

向量夾角的餘弦值為

那隻需要求出兩個向量的坐标代入即可。

以點B為坐标原點,建立平面直角坐标系,

則B(0,0),A(4,3),C(3,1)。

此時可以得到向量AB的坐标為(-4,-3),

向量AC的坐标為(-1,-2),

那麼

向量夾角的餘弦值為


結論就出來了。


【總結】

解題的方法千千萬,适合就好,不必拘泥與形式。在考場上關鍵還是快、準。

《中考數學壓軸題全解析》P57頁有相關的類型題目及方法介紹。

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