本題選自2022年貴港中考數學選擇題第11題,難度不大,但是此類問題較為常見,經常出現在選擇或者填空題中。
此類問題關鍵是确定直角三角形,利用銳角三角函數的定義進行求解。
【題目】
(2022·貴港)如圖,在4×4網格正方形中,每個小正方形的邊長為1,頂點為格點,若△ABC的頂點均是格點,則cos∠BAC的值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
觀察圖形發現△ABC并非直角三角形,必須構造直角三角形才行。
如圖,延長AC與正方形網格的邊線交于點D,連接BD,
即可得到△BCD為等腰直角三角形。
那麼隻需要求出AD與AB的長即可。
易得AB=5,AD=2√5。
那麼cos∠BAC=AD/AB=2√5/5。
結論就出來了。
此類問題一般是直接找格點,觀察圖中的點,找到一個合适的即可。
【方法二】
當然,格點不好找的時候,與可以直接作垂線,如下圖,過點C作CD⊥AB于D。
此時需要求出AD與AC才行。
由于CD為△ABC的高,因此求出△ABC的面積即可。
根據割補法,可以得到△ABC的面積為
S=3×4/2-1×3/2-1×2/2-1=5/2。
而AB=5,
則CD=2S/AB=1。
由于AC=√5,那麼就可以得到AD=2。
所以cos∠BAC=AD/AC=2/√5=2√5/5。
【方法三】
如果有的同學學過高中的向量知識,直接可以用向量的坐标公式進行求解。
向量與夾角的餘弦值為
那隻需要求出兩個向量的坐标代入即可。
以點B為坐标原點,建立平面直角坐标系,
則B(0,0),A(4,3),C(3,1)。
此時可以得到向量AB的坐标為(-4,-3),
向量AC的坐标為(-1,-2),
那麼
向量與夾角的餘弦值為
結論就出來了。
【總結】
解題的方法千千萬,适合就好,不必拘泥與形式。在考場上關鍵還是快、準。
《中考數學壓軸題全解析》P57頁有相關的類型題目及方法介紹。
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