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【反函數和反三角函數】圖解普林斯頓微積分 09

第10 章反函數和反三角函數 10.1 導數和反函數

第一章就回顧了反函數的基本知識, 可以快速地再看下. 現在讨論導數和反函數之間的兩個聯系.

10.1 .1 使用導數證明反函數存在

如果一個可導函數 f , 它的導數總是正的, 那麼該函數一定是遞增函數, 且滿足水平線檢驗. 沒有水平線會與 y = f (x) 相交兩次. 由于 f 滿足水平線檢驗, 所以我們知道 f 有反函數.

函數上隻有一個點使得 h'(x)=0, 這樣仍然有反函數.

10.1.2 導數和反函數:可能出現的問題

函數的導數可以偶爾是0, 而該函數仍然有反函數. 但下圖中函數沒有通過水平檢驗, 在 y=1 和該函數有無數次相交(紅色線段标識出), 故不存在反函數.

一般來說當函數有不連續點或垂直漸近線時, 上面導數和反函數的方法也不再适用了.

10.1.3 求反函數的導數

知道函數 f 有反函數, 我們通常稱之為f−1, 該反函數的導數就是原函數的導數的倒數.

如果一個函數, 它有反函數, 并且原函數在點 (x,y) 處的斜率為0, 則其反函數在點(y, x) 處的斜率将會是無限的.

10.2 反三角函數

将 sin(x) 定義域限制為區間 [-π/2, π/2], 則它滿足水平線檢驗, 故它有反函數f−1, 寫成sin−1(x)或 arcsin(x) .

10.2.2 反餘弦函數

10.2.3 反正切函數

10.3 反雙曲函數

要記住, 所有這些導數公式隻有當 x 在相關函數本身的定義域内時才成立!

(本章完)

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