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2021年廣東中考數學卷第25題（廣東曆史上最難數學中考）

已知二次函數y=axx bx c的圖像經過點(-1,0)，且對任意實數x，都有4x-12≤axx bx c≤2xx-8x 6。

(1)求該二次函數的解析式。

(2)若(1)中二次函數圖像與x軸的正半軸交點為A，與y軸交點為C，M是(1)中二次函數圖像中的動點。問在x軸上是否存在點N，使得A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在求出所有符合條件的點N坐标，若不存在說明理由。

解答

作圖，畫出三個圖像

第25題圖

（1）

已知4x-12≤axx bx c≤2xx-8x 6

計算不等式4x-12≤2xx-8x 6，xx-6x 9≥0，(x-3)(x-3)≥0，

當x=3時4x-12=2xx-8x 6，當x≠3時，4x-12<2xx-8x 6。

y=4x-12圖像與y=2xx-8x 6相交于點(3,0)。

讨論二次函數y=axx bx c，當a<0時，圖像開口向下，不滿足題目條件。

當a>0時，圖像開口向上，并且與x軸相交于點 (-1,0)。

如果函數y=axx bx c與x軸隻相交于一點，二次函數y=axx bx c最小值為0，二次函數y=2xx-8x 6在x=2時有最小值-2，不滿足axx bx c≤2xx-8x 6條件。

如果函數y=axx bx c與x軸隻相交于兩點，另一個交點一定在(3,0)處。因為隻有這點才能滿足4x-12≤axx bx c≤2xx-8x 6條件。

y=k(x 1)(x-3)，計算k值，k(x 1)(x-3)≤2xx-8x 6，化簡變形可得(2-k)xx (2k-8)x (3k 6)≥0

△=(2k-8)(2k-8)-4(2-k)(3k 6)≤0，化簡得(k-1)(k-1)≤0，k=1。

y=k(x 1)(x-3)=xx-2x-3，a=1，b=-2，c=-3。

（2）

y=xx-2x-3，與y軸相交于(0,-3)點。

分情況讨論

當CM和AN是平行四邊形兩條邊時

有兩種情況

作CM//x軸，M點坐标：(Mx,-3)。

Mx*Mx-2Mx-3=-3，解得Mx=0或者Mx=2，對應CM兩點。MM點坐标：(2,-3)，CM=2。

AN=2，N點坐标（3-2,0)和(3 2,0) 就是(1,0)和(5,0)。

當CM和AN是平行四邊形兩條對角線時

有兩種情況

設M點坐标(x,xx-2x-3)。P為CM中點。P點在x軸上。(xx-2x-3-3)/2=0，解得x=1±√7。

P點在x軸(1±√7)/2。|PA|=3-(1±√7)/2，N點x坐标=3-2|PA|。算得N(-2±√7,0)

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