邁向數學的統一
“數學是一個永不會完成的創造過程。”
撰文|夏爾·埃雷斯曼（Charles Ehresmann） 翻譯|葉淩遠
譯者按
本文是夏爾·埃雷斯曼（Charles Ehresmann，1905-1979）于1966年4月25日在堪薩斯大學勞倫斯分校數學系榮譽晚宴上的演講，同年發表于Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques(《範疇拓撲學與範疇微分幾何》)雜志，題目為“Trends toward unity in mathematics”。埃雷斯曼是一位在德國出生的法國數學家，他是布爾巴基學派的早期成員之一，在微分拓撲和範疇論等領域作出了重要工作。
夏爾·埃雷斯曼
這篇文章簡明地回顧了從古典時代到現代數學的發展曆程，闡述了他對于采用範疇論的語言統一不同數學分支的設想。那時距範疇最初的概念在數學文獻中正式出現不過21年的時間。到如今，将近60年的時間過去了，範疇論無論是在其自身還是在統一數學方面都有了長足的發展，因此埃雷斯曼文章所規劃的藍圖與提出的問題不見得仍在現在的語境下适用。但範疇論發展所取得的成果卻沒有在更廣泛的數學家群體中得到它應有的重視。翻譯這篇幾乎是60年前的文章，是希望和讀者一起回到半個世紀之前，重新思考數學的本質、體會現代數學的思維方式。翻譯整體遵照原文，對個别細節進行了修改，注釋與粗體均為譯者所加。
在常人眼中，數學結論經常被認為是永恒的真理，但數學不是由一成不變的定理所構成的；它也不僅僅産生了大量習題，在其他科學中有廣泛的應用而已。數學是一門生動的科學，在持續不斷地向前快速發展。我們所處的年代正是數學極速擴張的時代；并且現在，也有一股重要的力量推動着數學邁向統一。
同樣的發展導緻了新文學的出現——小說不必再有情節；誕生了抽象音樂，有時是由計算機譜寫；還有抽象的雕塑和繪畫，它們并不旨在呈現真實事物的一般表象。這種同樣的抽象過程也發展出了一種新的數學，其動機不在于尋找可能的應用，而是基于我們一種強烈的願望——希望知曉每一個問題的本質和它所依賴的整體結構。這種一緻并不令人驚訝，畢竟數學與藝術非常相似：數學理論不僅需要嚴格性，還要滿足我們對簡潔、和諧和美的追求；一個優美的理論和一件藝術品一樣，它們都是人類靈感的創造。
對于那些數學家中的柏拉圖主義者，他們工作的動機是要尋找給定情景下真實的結構，以及這些結構的抽象表示。對更務實的數學家來說，他努力的目标是用他所掌握的一切手段去解決純數學或應用數學中出現的預先給定的問題；在此過程中，他會盡可能避免引入新的一般概念。而所有數學家都會認同的是，如果一項數學工作能夠激發新的研究産生，那麼它在數學中的價值就能得到最好的證明；數學最重要的應用恰恰應是數學本身。
直到最近，大多數哲學家，甚至柏格 森[1]，都把數學說成是一門與日常空間中的數與量有關的科學。這個描述或多或少對應着古希臘的數學，但現代數學已不再是如此了。
對希臘人來說，數學代表着算數（Arithmetics）和幾何學（Geometry）。前者是關于自然數的科學，後者研究的是日常空間中圖形的形狀和幾何量的比例。盡管他們的幾何學是一個公理化的體系，但他們認為這些公理是被“證據”所強加的。事實上，他們在推理中所隐含的假設比明确說明的公理更多。令人驚訝的是，他們從未引入實數的概念，盡管歐多克索斯[2]的比例論與20多個世紀後由戴得金[3]給出的實數定義沒有本質上的區别。這種把以前已知的某一類對象——在這裡則是一類有理數——作為一個新的對象的抽象過程，對他們的思想來說是完全陌生的。即使是開創了諸如靜力學（Statics）和流體力學（Hydrodynamics）等新領域并為積分理論開辟道路的阿基米德，也不願意抽象地定義實數。在他之後，創造的沖動似乎被耗盡了，而數學在整個中世紀都處于沉睡之中。
數學創造力的複興還要歸功于16世紀意大利數學家引入的新數字，包括負數和虛數，以及同一時期韋達 [4] 所引入的代數符号。希臘人也有一種基于幾何的代數，但他們沒有引入任何代數符号，導緻他們的作品難以閱讀。笛卡爾和費馬也為數學帶來了新的推動力，他們創立的解析幾何統一了代數和幾何。盡管曲線切線的定義問題，以及如何尋找一條曲線的切線等問題已經在非常特殊的情況下得到解決 （例如阿基米德的螺旋線） ，但現在我們可以用一種有效的方式對它們進行研究，這也直接導緻牛頓和萊布尼茨發明微積分。萊布尼茨似乎已經猜到了許多未來數學的發展。他不僅明确地将函數作為對象引入數學，從而為泛函分析奠定基礎；而且在他尚未實現的通用表意文字 （universal characteristics） 理論中 [5] ，他夢想着揭示所有事物的代數結構，并構造一種普世的算法來進行表達和推理。因此，他不滿足于笛卡爾的解析幾何學，因為它依賴于坐标系的選取。或許是在困惑中，他預見到了幾何學必定擁有一種内蘊的代數結構，而線性代數和格拉斯曼代數 （編者注：參見《》） 可以說部分地實現了他的這個夢想。不幸的是，他所處的時代并不能接受他過于超前的思想，他沒有足夠的追随者來發展他所設想的道路。不過他在微積分方面的工作被廣泛地采用了，特别是他所創立的微分和積分的符号。而微積分也在很長一段時間内成為數學的一個主要的領域。
19世紀由羅巴切夫斯基和亞諾什 [6] 分别獨立發現的非歐幾裡得幾何學是另一進步。截止那時，古典時代為數學所設下的所有界限都被打破了： （歐幾裡得） 幾何學不再是由感知經驗所強加給我們的，其所依賴的是人類基于公理的創造；我們可以設想不同的公理系統來研究不同的幾何學。康德所強調的我們對于空間概念的“先驗性 （a priori） ”由此變得過時了 [7] 。那麼，幾何學的本質到底是什麼？在當時，人們将一個具有傳遞性群作用的空間作為幾何的統一性概念，例如歐幾裡得空間的傳遞群作用事實上就是歐幾裡得平移變換。因此，幾何學成為一個群作用的不變量和共變體的理論。但實際上，這個定義隻适用于齊性空間中的幾何學，而其他類型的幾何已被發現，人們感到有必要對幾何和空間的概念進行另外的概括。這最終導緻了拓撲空間的定義，它是回答所有關于連續性、極限和近似問題的恰當語境，也使得分析和幾何領域中許多共同的結構得以顯現。
在同一時期，康托爾 [8] 的集合理論出現了，并愈發成為所有數學分支統一的基礎理論。這是數學中一種新的抽象方式。如康托爾所說，從那時開始“數學的發展就是完全自由的了”，集合論中的概念“隻要求不矛盾，并與之前引入的概念通過精确的定義相聯系即可”。盡管不久之後，人們發現了一些危及康托爾集合理論的悖論，從而危及整個數學大廈，但康托爾的傑作開啟了現代數學思維之路。
自本世紀初以來 [9] ，數學理論中創造的自由使得人們在集合上考慮了許多新的數學結構。除了各種類型的代數結構 （如群、環、域、半群、模、代數、李代數等） ，還有許多測度和概率模型結構以及對各種各樣的拓撲結構的精細化：均勻結構、度量空間、拓撲流形、具有各種微分結構的可微或分析流形，如黎曼流形及其上的聯絡、代數流形等。考慮同一集合上的不同結構可以構造新的數學對象，如李群、拓撲向量空間、巴拿赫空間、希爾伯特空間、賦範代數，等等。這些結構的引入主要是為了滿足純數學發展的需要，而一旦它們被更多的人所了解，它們在其他領域的應用自然會越來越多，運用數學理論的人也會越來越多。
在引入所有這些不同類型的數學結構之後，人們深切地感受到了統一的必要性；經過一段快速擴張的時期，如果沒有一種統一的理論将各個領域聯系起來，那麼一個無法阻擋的趨勢便是，不同的數學家們将和巴别塔的建造者們一樣，使用不同的、不相容的數學語言發展各自的領域。
考慮到這些理論的相似性，我們可以通過對結構這一概念，或者更确切地說，集合上某一特定種類的結構的一般性定義得到某種統一。這一思想是由布爾巴基學派 [10] 發展而來，也是他們編撰的系列教材《數學原本》 （Éléments de mathématique） 中内容順序的編排基礎。在數學研究的最開始就被廣泛考慮的整數和歐幾裡得空間這兩種結構，一旦被公理化地定義，就非常确定地對應着集合上某一種結構，即所有滿足此類結構的對象都是同構的。但現代數學所引入的集合上的不同結構類别 （例如群或拓撲結構） 并不具有這種唯一性。
集合上一般結構的理論可以用範疇和函子的概念來進行更加普遍的公理化，而範疇論的發展似乎是當今數學最具特色的一種統一的趨勢；基于此，我認為它很快就會像其他基礎領域一樣，如線性代數和拓撲學，在大學早期就被教授。 [11]
一個範疇是由一族元素和在它們之上部分定義的複合操作所構成的 [12] ，同時複合需要滿足一定的規則 （公理） 。例如，每一個群都是一個特殊的範疇，複合操作和群的乘法一緻，這使得其中每個元素在這個複合操作下都是可逆的，且隻有一個單位元；但最典型的例子還是所有集合間的函數所構成的範疇，其中的一個元素是兩個集合之間的一個映射，複合操作則和通常函數之間的複合相一緻。抽象範疇的公理化正是基于這個由集合之間的映射構成的範疇所提出的。我們把範疇中一個元素叫作一個态射，而不稱其為函數，可以将其想象為從一個物體 （态射的源） 到另一個物體 （态射的靶） 的一個箭頭。因此，範疇論中态射的一般概念是函數概念的推廣，而函數被戴德金認為是數學的基本工具。
函子是範疇之間保持複合操作的映射。它們再次構成了一個範疇，即函子的範疇。對于我們通常所考慮的集合上附加的某種數學結構，它們之間的同态也構成一個範疇。對于所有的這些範疇都可以自然地定義一個函子，映射到之前所述的集合之間的函數所構成的範疇[13]；這通常被稱為遺忘函子 （forgetful functor） ，即在這個函子的作用下我們忘記了集合上其它的結構，僅僅保留了最基本集合的信息。例如，所有拓撲空間之間的連續映射構成的範疇，亦或是所有群同态所構成的範疇，都有如上所述的遺忘函子。
現在，我們可以更抽象地考慮從範疇H到範疇C的任意一個函子p。根據上面的讨論，在這個語境下，我們則可以将H的任意一個物體S看作是相對于函子p的一個結構，或更确切地說是C範疇中的物體p(S)上的一個p-結構。因此，H可以看作是C上的p-結構所構成的範疇。令人驚訝的是，許多有關集合上某種特定結構的理論和構造可以被如上所述有關 p-結構的一般理論所統一起來。我們可以在這個框架下定義子結構、商結構、自由結構、笛卡爾積、一族物體的和，或更為廣泛的任意一個函子的極限和餘極限，等等。目前我相信，現在的數學研究将會更少地關心單個p-結構的性質，甚至也不會那麼關心某一個函子p的性質；相反，現在數學的目标應該是研究某一族函子的性質，使得曾經對于某一特定函子p和其對應的p-結構成立的定理，現在對于這一族中任意的函子都成立。一旦理解了這個定理有效的真正原因，我們一般會發現，隻有很少的一些條件 （假設） 是證明這個定理所真正必要的。因此，原來定理的證明如今可以推廣到一類非常廣泛的函子上，而不僅僅隻對原本的p函子适用。特别地，這個定理可能會包含許多已知的函子，從而應用于我們從未想過的領域。例如，有關拓撲空間的緊緻化，均勻空間的完備化，自由群、自由模或更一般的由一個集合生成的自由代數的構造，都可以看作是某一類抽象的函子自由結構存在性定理的推論。
當然，上述對數學進行統一的方案過于粗略。事實上，隻有數學家們的創造力才能持續地發現新的有趣的函子類。如我們所見，在數學中，創造過程的一個特點是把以前定義的一類對象作為一個新的數學對象來加以認識。當我們開始研究不同函子的分類及其性質來梳理統一現有的數學理論時，我們是否在這個更高的層次面臨着相同的問題？一旦這個新理論走向成熟且再次變得複雜、糾纏不清，我們是否有必要發展更高程度的統一理論？我們不試圖回答這個問題。然而，我們愈發深刻地認識到，數學是一個永不會完成的創造過程，它的存在性并不需要通過它的重要性或是不斷擴大的應用範圍來證明；它的意義遠遠不僅是充當“物理學的推土機”。數學是理解整個宇宙的關鍵，統一了人類從科學到哲學到形而上學的所有的思維。因此，柏拉圖和萊布尼茨的偉大理想，即讓數學成為一切知識本質的理想，可能終将實現。
注釋
[1]亨利·柏格森 (Henri Bergson, 1859-1941)，法國哲學家，文學家，于1927年憑借豐富、富有活力的思想和語言獲得諾貝爾文學獎（譯者注；全文所有的腳注均為譯者所加，後不再一一指明）。
[2]歐多克索斯（Eudoxus，408 B.C.–355 B.C. ），古希臘數學家、天文學家，歐幾裡得《幾何原本》中的許多内容很有可能是來源于歐多克索斯，一些人認為他是古希臘最傑出的數學家。
[3]裡查德·戴得金（Richard Dedekind，1831-1916），德國數學家，在數論、抽象代數（特别是環論）以及算數的公理化等領域作出非常重要的貢獻。
[4]弗朗索瓦·韋達（François Viète，1540-1603），法國數學家，初高中生們熟悉的韋達定理就來源于他。
[5]通用表意文字 （拉丁語為characteristica universalis），是萊布尼茨所設想的一種通用的形式化語言，該語言能夠表達數學、科學以及形而上學等方面的概念，并支持一種通用的邏輯演算。
[6]尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792-1856 ），俄國數學家；鮑耶·亞諾什（János Bolyai, 1802-1860），匈牙利數學家，他們和高斯生活在同一時代。兩人均獨立的為非歐幾何，特别是雙曲幾何，作出了重要貢獻。
[7]康德認為人類對時間和空間的認識不是通過概念化（conceptualisation）的方式完成的，它們是我們感觀直覺的純粹形式（pure form of sensible intuition）。非常粗略地來說，前者涉及知性（understanding）的運作，而後者形成的知識則是先驗的。
[8]格奧爾格·康托爾（Georg Cantor，1845-1918），是出生于俄國的德國數學家，創立了現代集合論，是實數的嚴格定義及整個微積分體系的理論基礎，為數學基礎（foundation of mathematics）作出了傑出的貢獻。
[9]這裡指本文成文的時間，即20世紀。
[10]尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）是20世紀一群法國數學家的共同筆名，他們自1935年開始撰寫一系列關于現代高等數學的書籍，以把所有數學建立在集合論堅實的基礎之上為目的。在這個過程中，他們緻力于将數學概念盡可能地普遍化和嚴謹化， 對20世紀之後的數學發展産生了深刻的影響。
[11]範疇論最早起源于1945年Eilenberg和MacLane 的題為General Theory of Natural Equivalences的論文，在随後的幾十年内作為一門數學語言和工具迅速地參與到各個數學分支的發展之中。遺憾的是，本文作者埃雷斯曼的這一猜測直到多年後的今天也沒能在大多數的大學内成為現實。
[12]在現代的範疇論語言中，一般把範疇定義為兩種類别的元素，即物體和它們之間的态射，所構成的數學對象；但也可以僅僅将一個範疇理解為一族态射加上上面部分定義的複合操作，因為範疇中的物體和單位态射是一一對應的。換句話說，态射的信息包含了物體的信息。本文對範疇所采取的是後一種理解。
[13]即把一個同态看作是其對應的集合之間的函數。
本文譯自 Ehresmann Charles. "Trends toward unity in mathematics." Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 8 (1966): 1-7.
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