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數學方法 | 反例(“數學思想方法導引”第34講/共36講)

第34講摘要:所謂反例,指的是符合某個命題的條件,但不符合該問題結論的例子。數學中的反例,一般是指建立在數學證實的理論與邏輯推理基礎上并具有一定否定作用的例子。舉反例是一種特殊的證明方式,它證明“某命題”不成立為真,一般來說,對于一個假命題,可以構造出不同的反例,實際應用中隻構造出一個反例即可。

數學家蓋爾鮑姆指出:“數學由證明和反例兩大類構成,而數學發現也是朝着兩個主要目标——提出證明和構造反例”。反例有助于發現原有某些數學理論的局限性,當人們對數學理論理解存在某些偏差時,反例能夠促進數學新概念、新方法、新理論的形成,反例的運用也會提高對數學的運用、構造的能力。如果要否定一個數學命題的成立,隻要能舉出一個說明其錯誤的反例就可以,這個過程叫構造反例。

反例構造的分類有基本形式的反例,有關于充分條件假言判斷與必要條件假言判斷的反例,有條件變化型反例,有反例在數學的發展、學習和研究中發揮着不可取代的作用。

構造反例的常用方法是選擇特殊狀态構造反例還有依據性質分析構造反例。所謂選擇特殊狀态構造反例,就是選擇一個特殊的例子,即選擇一種或極端的狀況來構造反例,從而對整個結論給出否定的證明。極端化也是一種選擇特殊狀态構造反例。所謂極端化,即将問題退到極端情形,考察極端元素或臨界位置,往往能找到對解決問題有用的奠基因素以實現解題方法的過渡,故意“極端化”就是在解題“操作”時使問題呈現“極端”形态,“退”到另一種情境,從而“改善”問題的背景,便于認識和解決問題,最後将問題的“極端情形”在想象的“微小變動”中“極限化”,回到原來的情形。性質分析構造法是指對命題存在的性質進行分析,并由此構造出一種反例的方法。類比法構造反例,也是依據性質構造反例的一種。類比法構造反例是指利用已有反例的特征及思維方式,運用類比的方式在新的範圍、條件下構造出反例,這種方法有時可以很快地構造出反例來。

反例是十分簡明的否定, 也是極有說服力的肯定,反例的作用不僅用以否定命題而且也是發現數學真理的一種重要手段。反例在數學中的應用,可以加深概念理解,澄清模糊認識,把握數學原理,探索解題思路,優化解題過程。在實際數學問題的解決過程中,構造反例有兩條路徑,一是選擇特殊狀态構造反例,二是依據性質分析構造反例。

課件制作| 于競航

責任編輯 | 于競航

審核指導| 段志貴

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