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數學方法 | 一般化與特殊化(“數學思想方法導引”第23講/共36講)

第23講摘要:在數學研究及數學問題解決中,一般化與特殊化是常用的方法與手段。一般化也稱普遍化,它是一種數學思維方法。波利亞在《怎樣解題》中說“普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合; 或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小集合的更大的集合。”一般化在數學學習中,用途主要表現為兩個方面:有助于數學規律的發現和有助于解題路徑的獲得。

與一般化的思維方法相反,特殊化是從原思維對象所在的範圍轉化為比它小的,且被它所包含的範圍内進行思維的方法。波利亞說:“特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一個較小集合,或僅僅一個對象。”它簡便、易行,是學習過程的好辦法,是“以退求進”的思維方法。其在數學學習中的用途,主要有以下兩個方面:常常被用來發現解題方法和可當做推翻某一結論的反例使用。

“從特殊到一般”與“由一般到特殊”乃是人類認識客觀世界的一個普遍規律。數學題目有的具有一般性,有的具有特殊性,這就需要我們有時把一般問題化歸為特殊問題,有時把特殊問題化歸為一般問題。一般化和特殊化這兩個方面既各有獨特的作用,又互相制約、互相補充,這就需要我們在日常的數學學習中,認真體會,加以運用。

課件制作| 邱丙傑

責任編輯 |邱丙傑

審核指導| 段志貴

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