為“數學大統一理論”搭建橋梁的數學家

數學的目的是并不是證明幾個孤立結論，而是探索未知的邏輯關系。就這層意義上說，Langlands 綱領或許是近幾十年來最重要的數學成果——即便它隻是一些未經證實的猜想。

Langlands 綱領源于 1967 年加拿大裔美國數學家 Robert Langlands 寫給著名法國數學家 André Weil 的一封信，在這封信中，他建立了表示論/自守形式與代數數論中 Galois 群的聯系。如今，由此生出的數學理論已經涉及到數學的方方面面，甚至有幾何 Langlands 綱領涉及物理學中的規範場論。讓我們跟随女數學家 Ana Caraiani 的腳步，一窺數學的大一統理論。

Ana Caraiani，站在帝國理工學院附近的Serpentine橋上，從事數學研究，為該領域裡遙遠的分支架起橋梁。圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

采訪者 | Steve Nadis

受訪人 | Ana Caraiani（帝國理工學院教授）

翻譯 | 張和持

Ana Caraiani 在普林斯頓大學的本科畢業論文由安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles） 指導。懷爾斯是一位著名數學家，1994年，就是他證明了 費馬大定理。這位名聲在外的學者交給學生的問題自然困難重重，而 Caraiani 并沒有她導師當年的運氣。不過，雖然并沒有取得顯著的進展，她也不曾氣餒。

Caraiani說，"這個題目的重點不一定是解決這個問題。我認為懷爾斯在教我，不應該把所有的時間都花在你知道如何做的事情上。那些真正困難的問題值得花時間去解決，隻是可能真的太難了。”

在做畢業論文的過程中，她學到了很多數學研究的方法。“你不可能總是按部就班地做數學。如果你卡在了問題的某個部分，就先别管它，去做其他部分。” Caraiani後來進行了非常廣泛的合作研究，目的是将數學的各個不同領域聯系在一起，而做畢業論文的經驗讓她受益匪淺。她所從事的研究被稱為 Langlands 綱領，由加拿大數學家Robert Langlands于上世紀 60 年代建立。這是當今數學界最為龐大，最富野心，同時也是最具挑戰性的任務。

Caraiani 現在擔任倫敦帝國理工學院教授，同時獲得了皇家學會大學研究獎學金（URF）。她從來都不回避任何挑戰。在羅馬尼亞首都布加勒斯特長大的她，經常會遭遇與她自身能力無關的挫折。2001年，作為一名高中生，她成為數十年來第一個有資格參加國際數學奧林匹克競賽（IMO）的羅馬尼亞女性，并在當年摘得一枚銀牌，此後兩年又連續摘得金牌。不過盡管獲得了如此成功，她仍然感覺自己是不受歡迎的，也很少得到鼓勵。

“有些人，包括舉辦大賽數學老師們，都讓我不要抱太大期望，”她說。“而我想要證明他們都錯了。”

Caraiani 對Quanta雜志講述了她追求數學的經曆以及研究 Langlands 綱領的工作，而後者可以理解為“通向數學大一統理論之路”。為了讓文章更加清晰，我們對采訪内容進行了壓縮與編輯。

Caraiani 緻力于當今最雄心勃勃的數學項目之一，即Langlands計劃。這是一項高度協作的努力，她經常與帝國理工學院的同事在Dalby Court會面。圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

你闖進男性主導的 IMO 之後，情況有沒有發生轉變？

當時我在高中從來不被人看好，而如今學校的女生會得到很多鼓勵。不過即便如此，我還是看到自己身邊的人遭受隐晦的歧視。如果别人都視你為異類，那麼要開展研究或是建立長期合作關系就會困難重重。而且你很難被認真對待，每次都必須得證明自己的能力。

我意識到，其實相比大多數同行，我一直很幸運，現在也已是小有名氣。不過我還是覺得，數學界并不像它應有的那麼包容——不僅僅是對于女性，對其他弱勢群體也是一樣的。在我研究的領域中更是這樣，Langlands 綱領的研究需要大量專業知識，就連入門也存在巨大的障礙。

我隻能盡自己所能幫助他人，一起探索這一驚人的領域，不過我覺得還是不夠。我努力為女性，以及其他弱勢群體提供生存空間，争取會議席位，讓她們參加我的研究小組。我很高興自己的研究小組中女性占比高于平均水平。

是什麼吸引你來到這個驚人領域的？

我2007年從普林斯頓大學畢業，那時懷爾斯鼓勵我去哈佛大學深造，那樣我可以跟 Richard Taylor學習——他對費馬大定理的證明做出了關鍵貢獻。而我之所以做 Langlands 綱領正是随的他。

不過對于我來說，還有更深層次的吸引力。Langlands 綱領是要旨，從本質上說是給數學的不同分支建立聯系。而我喜歡數學的所有分支——數論、分析、幾何、拓撲等——如果我做 Langlands 綱領的話，就不必将自己的研究限制在任何分支中。如果我們遇到還不會證的猜想，就可以嘗試聯系其他數學分支，用其他相關工具，就有可能取得進展。

在你的事業中，所謂“進展”是什麼意思呢？

我和同事們所做的工作，就是在不同數學分支間搭起橋梁——具體來說，橋的一邊是Galois 群與Galois表示，另一邊是模形式與其推廣。

我們從Galois群說起。比方說 x2-3=0這個多項式方程，它的解，或者說根，是和。顯然，這兩個數字是關于y軸對稱的。所謂Galois群并不是多項式方程根的群，而是根的對稱群。

而如果考慮次數為5的多項式（次數指最高次項次數，比如x5或y5），這時方程就變得非常複雜，其 Galois 群也變得複雜。Galois表示可以用來簡化問題，這時我們就不必研究整個Galois群，隻需要觀察它的某些部分，或者說截面。就像是取3維物體的2維截面一樣；雖然截面并不包含所有原始信息，但很多時候也夠用了。

那橋的另一邊呢？

模形式是一種高度對稱，定義在上半複平面上的函數，其中我們用x軸代表實數，y軸代表虛數（也就是的倍數）。我們隻考慮性質“良好”或者說光滑的函數，也就是指函數不會跳躍，也沒有尖突。也可以說函數是可導的。

我們可以把上半複平面分成小區域，或者說“瓦片”。而由于對稱性，我們隻需要知道其中一個瓦片上的函數值，就可以知道所有值。接着，我們可以取無窮多個瓦片，并把相鄰的粘在一起，這樣就産生了一個曲面，我們稱為模曲線。

即便這些都是完全不同的概念，也能通過 Langlands 綱領來說明他們的等價性？

沒錯，連接模形式（屬于分析）與Galois 表示（屬于數論與算數幾何）的橋梁，最初建立于上世紀 70 年代，從那時開始，研究人員就一直在加固這座橋。

在Langlands對應中，我覺得最神奇的莫過于：你可以用完全不同的方法，分别在模形式和Galois兩邊得到同樣一串數字。你要做的，基本上就是把模形式——也就是那些高度對稱的函數——分解為正弦函數和餘弦函數。這樣你就能得到三角函數的系數。而對于Galois這邊，你隻需要數一下多項式方程的根的個數。

能在實際計算中觀察到這種現象，即便對我來說，也非常震驚。因為要真正建立這樣的聯系，得用到比這多得多的數學對象。

“我和同事們所做的工作，就是在不同數學分支間搭起橋梁。”圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

來回的兩個方向需要不同的橋嗎？

的确是這樣。第一座橋是單向通道。如果你想從 Galois表示這邊開始，往模形式那邊走，就可以使用Taylor-Wiles方法，這個方法最早是用來證明費馬大定理的。現在我們已經能雙向行走了。

為什麼要這樣大費周章？通過這些橋梁還能讓你們做些什麼？

建立這些關系，展示不同數學之間的共同點，能帶來智力方面的滿足。當然，它也是有實用價值的。對于某些數學問題來說，在橋的一邊會比另外一邊更容易解決。面對一個很難的數學問題，我們經常需要在其中一邊做一些研究，然後再到另一邊做更多工作。為了證明某些命題，你可能需要來回過橋，這樣你就必須得能在兩個方向上自由穿行。

在這個領域中，一個重要的目标是要在更一般的條件下造橋。這樣我們就能讓Langlands 綱領的研究範圍不斷擴張。

在造橋過程中，你做出了什麼貢獻呢？

數學家們已經意識到Taylor-Wiles方法對局限性：它針對2維情況效果良好，但在3維就失效了。2012年，Frank Calegari和David Geraghty想到了一個改進方法，以适用 3 維情況。然而他們表示，要讓這個方法起作用，首先得解決他們提出的三個猜想。

我的同事Peter Scholze在2013年解決了第一個猜想；這個猜想建立了第一座橋——從模形式到Galois，這座橋遠比原來的2維情況要寬的多，這樣才能與3維情況下出現的新現象相容。

在2015年年底，Sholze 和我意識到，我們最近的工作可以用來解決第二個猜想，要是這個猜想得到證實，就能精确控制這座橋着陸的位置。雖然這個方法失敗了，但是我們又想出了很有希望的新方法。這時，Taylor建議我們在普林斯頓高等研究院（IAS）組織一場研讨會來完善我們的工作，想辦法解決第二個猜想。

雖然Caraiani不認為Langlands綱領最終能解釋數學中的一切，但她覺得有一天它可能會連接起數學的所有領域丨圖片來源：Philipp Ammon/Quanta Magazine

為什麼要跟讓别人來參與這項工作，而不是自己解決第二個猜想？

整個證明過程從幾何跨越到數論。Sholze 和我做的是幾何部分，但我們認為自己并不是數論方面最好的人選。我們覺得尋求合作能讓項目進展得更快。

結果如何呢？

我們已經解決了第二個猜想這個目标，并且找到了一個方法來繞過第三個猜想。我們建起了反方向的橋——由Galois到模形式的3維情況。這讓我們成功越過了Taylor-Wiles方法失效的障礙。而且這座橋不單單是對3維，對任意維也是有效的。論文已經在 2018 年聖誕節那天挂到網上，現在正在接受期刊的審校。

現在你又在做什麼研究呢？

我們對Calegari和Geraghty的第二個猜想，隻在兩種特殊情況下做出了證明。現在我正在與之前 10 位合著者之一的James Newton合作，想辦法在最一般的條件下證明這個猜想。

我還是對第三個猜想很感興趣，即便我們之前繞過了它。它預測了志村簇（Shimura varieties）的某些性質，而我對此興趣濃厚，希望今後能對它有更深的了解。

另外，還存在某些情況，我們對于如何造橋一無所知。在我們的領域中一個重大的目标就是在盡可能一般的條件下造橋，比如使用任意數系上的多項式。這樣我們就能擴展 Langlands 綱領的研究範圍。

這種統一最終能走多遠？

我并不認為Langlands理論有一天能解釋所有數學，不過我還是認為，它起碼能觸及數學的所有方面。

Robert Langlands的确高瞻遠矚。他在幾十年前建立了一整個網絡的猜想，而這個領域的範圍也逐步擴大。我們跨過的橋越多，能提出的新猜想，能前往的新目的地也更多。似乎這些取得的進展，都是為了讓我們看到前方更為廣闊的天地。我并不認為任何人會期待這個綱領走向終結。

本文譯自 The Mathematician Who Delights in Building Bridges，原文鍊接：https://www.quantamagazine.org/ana-caraiani-delights-in-building-mathematical-bridges-20211117/