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數學方法 | 數形結合(“數學思想方法導引”第26講/共36講)

第26講摘要:我國當代著名數學家華羅庚說過:“數缺形時少直觀,形離數時難入微”,說明數與形相輔相成,在一定條件下可以互相轉化。數形結合是數學中常用的思想方法,它是通過數、形間的對應和互助來研究問題并解決問題的方法。借助于數形結合,“形”中的一些量(如距離、角度、面積、體積等)在一定單位制中可分别對應一些确定的“數”;借助于數形結合,也可使一些抽象的概念、複雜的數量關系及其背景圖形的性質等變得直觀明了。

借“數”解“形”,一些幾何問題,如果運用數與形結合的觀點去考慮“形向數'的轉化,通過數的運算和變式,求出相應的結果,則解題方法容易尋找。借助于“數”去解決有關“形”的問題,具體地說,在研究某些度量關系的幾何問題時,可将有關線段、角度、面積用未知數表示,根據已知條件建立相應的關系式,然後用代數中的恒等變換或解方程得出,解題思路比較明确,規律性強,不像幾何證法需要特殊技巧,因此也就容易找到解題途徑。

以“形”助“數”,根據解決問題的需要,常把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題來讨論,即把抽象的“數”結構與形象的“形”結構聯系起來,化抽象為直觀,通過對圖形的研究,常能發現問題的隐含條件,誘發解題線索,使求解過程變得簡捷直觀。

數形結合是研究數學問題并實現問題模型轉換的一種基本思想和基本方法,它能溝通數與形的内在聯系。在解題中學會以形論數、借數解形、數形結合,直觀又入微,提高數形聯想的靈活性,有助于思維素質的發展,有利于提高解題能力。培養直觀想象能力仍然是數學教育的主要任務之一。

課件制作| 胡夢迪

責任編輯 | 胡夢迪

審核指導| 段志貴

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