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中考真題:求等邊三角形邊長整數解

如圖,在邊長為

的正六邊形ABCDEF中,連接BE,CF,其中點M,N分别為BE和CF上的動點。若以M,N,D為頂點的三角形上等邊三角形,且邊長為整數,求該等邊三角形的邊長

這是一題江西省中考的真題,主要考察圖形動點變化的分析能力,需要分類讨論解決。

解法如下:

連接FD交BE于G,連接BD交CF于H,設CF與BE相交于O點。

ABCDEF為正六邊形,易知FD

BE,且G為OE中點,同理BD

CF,且H為OC中點。

由邊長為

,以及

OED為等邊三角形,可以計算出DG=9,DF=18,同理DH=9,DB=18。

可知M在BE上運動,M點與G點重合時,MD的距離最短,MD=9,M點與B點重合時,MD距離最大,MD=18。同理ND也同樣成立

以下分類讨論M點的運動情況:

(1) M點在G點上,易證為

GHD為等邊三角形,此時N點在H點,滿足等邊三角形且邊長為9,得到一組解,邊長為9

(2) M點從G運動到O點的情況,與從G運動到E點的情況一緻,合并讨論

注意,此時M點到D點的距離滿足 9=DG

隻有一個可能性的解,MD=10,以下我們來找到這個點。如下圖,取NH=MG,易證

DGM

DHN,所以

GDM=

HDN,MD=ND得到

MDN=

GDH=60度,因此

MDN為等邊三角形,令MD=10,可知MG=

時成立,得到一組解,邊長為10

(3) M點在O點與B點之間運動

注意,此時M點到D點的距離滿足OD

因此,若要MD=ND,N點隻能在OF上,易知此

MDN不可能為等邊三角形

(4) M點在B點上,易證

MDN為等邊三角形,此時N點在F點,滿足等邊三角形且邊長為18,得到一組解,邊長為18

綜上,有3組解,分别為9、10、18,解畢

小結:通過圖形對稱性的分析,分析動點移動的情況,并分類讨論得到整數解的各種情況。題目難度整體不算太高,但是很容易漏掉解,整個過程可以細細品味。

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