如圖,在邊長為
的正六邊形ABCDEF中,連接BE,CF,其中點M,N分别為BE和CF上的動點。若以M,N,D為頂點的三角形上等邊三角形,且邊長為整數,求該等邊三角形的邊長這是一題江西省中考的真題,主要考察圖形動點變化的分析能力,需要分類讨論解決。
解法如下:
連接FD交BE于G,連接BD交CF于H,設CF與BE相交于O點。
ABCDEF為正六邊形,易知FD
BE,且G為OE中點,同理BDCF,且H為OC中點。由邊長為
,以及OED為等邊三角形,可以計算出DG=9,DF=18,同理DH=9,DB=18。可知M在BE上運動,M點與G點重合時,MD的距離最短,MD=9,M點與B點重合時,MD距離最大,MD=18。同理ND也同樣成立
以下分類讨論M點的運動情況:
(1) M點在G點上,易證為
GHD為等邊三角形,此時N點在H點,滿足等邊三角形且邊長為9,得到一組解,邊長為9(2) M點從G運動到O點的情況,與從G運動到E點的情況一緻,合并讨論
注意,此時M點到D點的距離滿足 9=DG 隻有一個可能性的解,MD=10,以下我們來找到這個點。如下圖,取NH=MG,易證
(3) M點在O點與B點之間運動
注意,此時M點到D點的距離滿足OD 因此,若要MD=ND,N點隻能在OF上,易知此
(4) M點在B點上,易證
MDN為等邊三角形,此時N點在F點,滿足等邊三角形且邊長為18,得到一組解,邊長為18綜上,有3組解,分别為9、10、18,解畢
小結:通過圖形對稱性的分析,分析動點移動的情況,并分類讨論得到整數解的各種情況。題目難度整體不算太高,但是很容易漏掉解,整個過程可以細細品味。
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有話要說...