題目:小明所在班級共37名同學,他們即将舉行五子棋比賽,每兩名同學都隻比賽一局,且每局比賽都分出勝負。另外,班級準備評選“好棋手”,評選規則是:如果某一名同學甲是“好棋手”,則對任意的同學乙,要麼甲直接勝過乙,要麼能找到另一名同學丙,使甲勝了丙且丙勝了乙。比賽結束後,發現隻能評選出一名“好棋手”。小明說:“好棋手”不一定每局都勝。小紅說:“好棋手”一定每局都勝。請問小明和小紅誰說的對?
今天的題目是組合數學問題。
如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。
思路分析:
這道題屬于組合數學問題,要說明小明說的對,隻需要構造出一種比賽結果即可;
要說明小紅說的對,需要給出嚴格的證明。
我們前面多次強調,這類題目大多選擇嚴格證明,這道題也不例外。
要證明唯一的“好棋手”每局都勝,可以采用反證的方法。
假設A是唯一的“好棋手”,但未全勝。
接着在勝過A的那些人中,再想辦法尋找一個“好棋手”。
解題過程:
假設A是唯一的“好棋手”,但未全勝。
首先在勝過A的那群人中間考慮,
類似于昨天正文中的題目可得,
一定能找到某個勝過A的同學B,
對于任意一個勝過A的同學C,
要麼B勝過C,
要麼能找到另一個勝過A的同學D,
使B勝過D且D勝過C。
另一方面對于任意一個輸給A的同學E,
由于B勝過A且A勝過E。
這說明B也是一個“好棋手”。
但這與A是唯一的“好棋手”矛盾,
出現矛盾的原因使假設不成立,
因此A一定獲得了全勝,
所以小紅說的正确。
你學會了嗎?
有興趣的讀者可以考慮自行練習下面的擴展題
思考題:原題目換個問題。
小明所在班級共37名同學,他們即将舉行五子棋比賽,每兩名同學都隻比賽一局,且每局比賽都分出勝負。另外,班級準備評選“好棋手”,評選規則是:如果某一名同學甲是“好棋手”,則對任意另一名同學乙,要麼甲直接勝過乙,要麼能找到另一名同學丙,使甲勝了丙且丙勝了乙。比賽結束後,某人勝的局數不是最多,他有沒有可能是“好棋手”?
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