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這道題告訴你學霸有什麼好方法 - 小學奧數每日一題028

題目:小明所在班級共37名同學,他們即将舉行五子棋比賽,每兩名同學都隻比賽一局,且每局比賽都分出勝負。另外,班級準備評選“好棋手”,評選規則是:如果某一名同學甲是“好棋手”,則對任意的同學乙,要麼甲直接勝過乙,要麼能找到另一名同學丙,使甲勝了丙且丙勝了乙。比賽結束後,發現隻能評選出一名“好棋手”。小明說:“好棋手”不一定每局都勝。小紅說:“好棋手”一定每局都勝。請問小明和小紅誰說的對?

今天的題目是組合數學問題。

如果你想思考一下,可以暫停滾屏,思考1分鐘後,再繼續。


思路分析:

這道題屬于組合數學問題,要說明小明說的對,隻需要構造出一種比賽結果即可;

要說明小紅說的對,需要給出嚴格的證明。

我們前面多次強調,這類題目大多選擇嚴格證明,這道題也不例外。

要證明唯一的“好棋手”每局都勝,可以采用反證的方法。

假設A是唯一的“好棋手”,但未全勝。

接着在勝過A的那些人中,再想辦法尋找一個“好棋手”。


解題過程:

假設A是唯一的“好棋手”,但未全勝。

首先在勝過A的那群人中間考慮,

類似于昨天正文中的題目可得,

一定能找到某個勝過A的同學B,

對于任意一個勝過A的同學C,

要麼B勝過C,

要麼能找到另一個勝過A的同學D,

使B勝過D且D勝過C。

另一方面對于任意一個輸給A的同學E,

由于B勝過A且A勝過E。

這說明B也是一個“好棋手”。

但這與A是唯一的“好棋手”矛盾,

出現矛盾的原因使假設不成立,

因此A一定獲得了全勝,

所以小紅說的正确。


你學會了嗎?

有興趣的讀者可以考慮自行練習下面的擴展題

思考題:原題目換個問題。

小明所在班級共37名同學,他們即将舉行五子棋比賽,每兩名同學都隻比賽一局,且每局比賽都分出勝負。另外,班級準備評選“好棋手”,評選規則是:如果某一名同學甲是“好棋手”,則對任意另一名同學乙,要麼甲直接勝過乙,要麼能找到另一名同學丙,使甲勝了丙且丙勝了乙。比賽結束後,某人勝的局數不是最多,他有沒有可能是“好棋手”?


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