高考數學秘笈：四步解題法11——尋找條件之實際意義
馮躍峰
本講介紹尋找條件的第二種方式。
（2）發掘條件中隐藏的某些對象的實際意義。
在尋找條件的最初階段，對條件的了解和整理還隻是表面上的，隻有對條件深入理解，才能認識條件的本質，為利用條件創造“條件”。
理解是應用的前提，要想應用條件，首先就得讀懂條件。要透過數字、符号、語言的表象，弄清題設條件到底告訴你一些什麼信息。必要時，還可借助圖表、模型等加深理解。隻有真正了解了條件的含義，才能準确地應用。
我們先看兩個簡單的例子。
例1、設A={（x，y）|x+y=2，x∈R，y∈R}，
B={（s，t）|2s-t=1，s∈R，t∈R}，
求A∩B。
【分析與解】本題的目标是：A∩B=？
題給的條件是，給出了兩個具體的集合。解題的關鍵，是理解這兩個已知集合的實際意義。
有同學看到這樣的條件，認為A是由（x，y）構成的集合，而B是由（s，t）構成的集合，所含的字母不同，錯誤地判斷它們沒有公共元素，得出錯誤答案：A∩B=Φ。
造成上述解題失誤的原因，顯然是對條件的理解不正确，它反映的是相關概念的模糊。出現這樣的錯誤，并不在于思維能力的不足，而是相關知識存在漏洞。
我們知道，一個集合的确定，主要是看集合有什麼類型的無素，而這些無素用什麼字母表示則是無美緊要的。
比如，集合{x|x≥1}與集合{t|t≥1}就是同一個集合，它們都表示區間（1，+∞）内所有數組成的集合。
在這種理解下，本題中兩個集合都是一些有序實數對的集合，求A∩B，就是把它們中公共的有序實數對找出來。這就隻需知道兩個集合中實數對的存在域。
容易發現，兩個集合中實數對的存在域為兩條直線，隻需求出兩直線的交點，即可求出A∩B。
于是，x+y=2，2x-y=1，聯立解得x=y=1，故A∩B={（1，1）}。
例2、設A={x|x=|t|，t∈R}，
B={x|x=1-t²，t∈R}，
求A∩B。
【誤解】有的解題者在解這道題時，由于沒有理解條件的實際意義，就急于解題，造成解題失誤。
他們認為，求 A∩B就是解方程組
x=|t|，
x=1-t²。
消去t，得x=1-x²，
解得x=
。得到錯誤答案：
A∩B={(
，}。造成上述錯誤的原因，就是把兩個集合中的x、t理解為取相同的值。由于x、t在兩個不同的集合裡，它們均可獨立取值，不受另一個集合中字母取值的影響。求A∩B，也隻是要求A、B兩個集合中x的取值相同，而兩個集合裡各自的哪些t使兩個x的取值相同是不去考慮的。
如果令兩集合中的x相等去建立方程，那麼兩個集合中的t要分别用不同的字母心t₁、t₂來區别，這樣建立的方程組隻能消去x，得到方程|t₁|=1-t₂²。
但按此思路去解，過程很繁。
實際上，隻要正确理解了A、B的實際意義，本題其實是很簡單的。
A、B都是一些實數組成的集合，如果把x=|t|理能為tox平面上的曲線，那麼集合A就是該曲線上各點縱坐标的集合。
同樣，集合B就是曲線x=1-t²上各點縱坐标的集合。
如果把x=|t|理解為函數，那麼集合A就是函數x=|t|的值域，便知A={x|x≥0}；同樣，集合B就是數x=1-t²的值域，便知，B={x|x≤1 }。
在這種理解下，顯然有A∩B={x|0≤x≤1}。
我們再看兩個稍複雜點的例子。
例3、設函數f（x）滿足：
f（x+y）=f（x）+f（y），
且x>0時，f（x）<0。
求證：f（x）為減函數。
【分析與證明】先明确目标，我們要證明：
當x₁
分割目标，建立如下解題主線：
起點x₁
下面尋找條件，與目标相接近的題設條件是
：“x>0時，f（x）<0。”
這個條件的實際意義是，任何整數對應的函數值都為負數。為運用方便，可将它形象地表述為：對形如“?>0”的不等式的左邊添加f，不等式反向。
比如，由1>0，得f（1）<0；
再比如，由
>0，得f（）<0。為了利用這一條件，需要将起點中的不等式變成形如“?>0”的形式，這需要發掘兩者的差異。
它們有兩種差異，一種差異是不等式方向不同，這隻需在不等式x₁
另一種差異是，起點不等式右邊不是0，這移項即可。這樣一來，起點變為x₂-x₁>0。
現在可利用上述條件，得f（x₂-x₁）<0。
再發現差異，當前狀态
“f（x₂-x₁）<0”中隻有1個f，而目标
“f（x₁）>f（x₂）”中有2個f。
為消除差異，希望當前狀态能增加一個f，自然想到f（x₂-x₁）能否分拆成兩部分。
我們猜想：
f（x₂-x₁）= f（x₂）-f（x₁）（子目标）。
再尋找條件，與之接近的條件是
f（x+y）=f（x）+f（y）。
繼續發現差異，子目标與上述條件存在結構差異：條件中函數之間用“+”号連接，而子目标中函數之間用“-”号連接。
這個差異很容易消除，通過移項改造子目标即可，得到
新的子目标：
f（x₂-x₁）+ f（x₁）=f（x₁）。
利用上述條件，這顯然是成立的，解題獲得成功。
具體解答如下：
【新寫】設x₁
由題給條件，有f（x₂-x₁）<0。（*）
又由題給條件可知，
f（x₂-x₁）+ f（x₁）
= f（（x₂-x₁）+f（x₁））=f（x₁），
即 f（x₂-x₁）= f（x₂）-f（x₁），
所以（*）式變為f（x₂）-f（x₁）<0，
即f（x₁）>f（x₂），故f（x）為減函數，證畢。
例4、設f（x）=
的圖象關于A（
，）對稱，求實數a。
【分析與解】很明顯，解題的關鍵，是理解條件：
“圖象關于A（
，）對稱”的實際意義。
這并不是說，從圖像上看對稱有何作用，而是要用數學式子表述對稱的意義。
所謂圖像關于點A對稱，其意義是：對f（x）的圖象上的任何點P（x，y），設它關于A的對稱點為Q（1-x，1-y），則Q在f（x）的圖象上。
于是，可這樣用數學式子描述圖像的對稱性：
對任何滿足y=
的實數x、y，有1-y=
。這樣，目标變為：由以上兩式中x、y取值的任意性，求出合乎條件的a。
兩式相加，可知對一切實數x，有
+=1。由此可求出a。具體解答如下：
【新寫】因為f（x）的圖象關于
A（
，）對稱，在f（x）的圖象上任取一點P（x，y），設P關于A的對稱點為Q（1-x，1-y），那麼Q在f（x）的圖象上。于是，對一切實數x，有
y=
，1-y=。兩式相加，得
+=1。即（a+
）+（a+）=a+
++4，化簡得2a=a+4，解得a=4。
經檢驗，a=4合乎要求。
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