有限元法的發展曆程
有限元法的基本思想是将結構離散化，用有限個簡單的單元來表示複雜的對象，單元之間通過有限個節點相互連接，然後根據平衡和變形協調條件綜合求解。由于單元的數目是有限的，節點的數目也是有限的，所以稱為有限元法(FEM，Finite Element Method)。
有限單元方法是迄今為止最為有效的數值計算方法之一，它為科學與工程技術的發展提供了巨大支撐。
二、有限元法的孕育過程及誕生和發展- 在17世紀，牛頓和萊布尼茨發明了積分法，證明了該運算具有整體對局部的可加性。
- 在18世紀，著名數學家高斯提出了加權餘值法及線性代數方程組的解法。另一位數學家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經。
- 在19世紀末及20世紀初，數學家瑞雷和裡茲首先提出可對全定義域運用位移函數來表達其上的未知函數。
- 1915年，數學家伽遼金提出了選擇位移函數中形函數的伽遼金法方法被廣泛地用于有限元。
- 1943年，數學家庫朗德第一次提出了可在定義域内分片地使用位移函數來表達其上的未知函數。這實際上就是有限元的做法。
- 20世紀50年代，飛機設計師們發現無法用傳統的力學方法分析飛機的應力、應變等問題。波音公司的一個技術小組，首先将連續體的機翼離散為三角形闆塊的集合來進行應力分析，經過一番波折後獲得成功。(Clough教授參與研究。)
- 20世紀50年代，大型電子計算機投入了解算大型代數方程組的工作，這為實現有限元技術準備好了物質條件。
- 1960年，美國加州大學伯克利分校的R.W.Clough教授在論文中提出了“有限單元”，這樣的名詞。值得驕傲的是我國南京大學馮康教授在此前後獨立地在論文中提出了“有限單元”。
有限元計算方法作為一種技術更多的與FEM軟件的發展緊密的結合起來。方法不斷更新，優勝劣汰，傳承和發展。在傳統有限元分析的數值計算方法之中，有直接計算法(DirectSolver)與叠代法(Iterative 所謂快速解法)兩種。
常見的有限元軟件有：美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC 、COSMOS、ELAS、 MSC 和STARDYNE，德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的 SYSTUS等。
顯式/隐式有限元法：隻需對可以簡化為對角陣的質量矩陣求逆，沒有增量步内叠代收斂問題，可以一直計算下去。隐式計算具有時間步長增量較大、每個荷載步都能控制收斂，避免誤差累積、存在叠代不收斂的問題、計算量随計算規模增大而成超線性增長的特點。相對與隐式顯式計算具有時間步長很小、誤差累積、不存在叠代不收斂的問題、計算量随計算規模基本為線性增長的特點。這種計算方法的代表軟件有ABQUS。
離散單元法：離散單元法也被稱為散體單元法，最早是1971年 由Cundall提出的一種不連續數值方法模型，這種方法的優點是 适用于模拟離散顆粒組合體在準靜态或動态條件下的變形過程。 離散單元法不是建立在最小勢能變分原理上，而是建立在最基本 的牛頓第二運動定律上。它以每個剛體的運動方程為基礎，建立 描述整個破壞過程的顯式方程組後，通過動力松弛叠代求解。
筒倉卸料模型
剛體彈簧單元法：剛體彈簧單元法(RigidBodySpringMethod,RBSM) 最早由Kawai于1976年提出，當初提出的意圖是以較少的自由度來 求解結構問題。它把體系分解為一些由均布在接觸面上的彈簧系 統聯系起來的剛性元，剛性元本身不發生彈性變形，因此結構的 變形能僅能儲存在接觸面的彈簧系統中。由于剛體彈簧元單元間 的作用力通過單元界面上彈簧傳遞，可以直接得到界面的作用力， 因此在岩土界面分析等領域也有着較好的應用。
剛體彈簧單元法：剛體彈簧單元法(RigidBodySpringMethod,RBSM) 最早由Kawai于1976年提出，當初提出的意圖是以較少的自由度來 求解結構問題。它把體系分解為一些由均布在接觸面上的彈簧系 統聯系起來的剛性元，剛性元本身不發生彈性變形，因此結構的 變形能僅能儲存在接觸面的彈簧系統中。由于剛體彈簧元單元間 的作用力通過單元界面上彈簧傳遞，可以直接得到界面的作用力， 因此在岩土界面分析等領域也有着較好的應用。
接觸判斷法：通過單元之間的相互接觸判斷得到相互之間的作 用力，進而形成運動方程。因此，快速而準确的接觸算法對有 限元方法非常重要。由于由于計算過程中單元往往會發生較大位 移，使得原有的塊體間的空間拓撲關系發生變化，使接觸判斷變 得更加複雜。
無網格法：傳統有限元需要構造特定的單元網格來形成位置插 值函數，是否可以讓計算機根據節點信息來“自動”形成位移插 值函數？無網格法可以實現。無網格法對函數的要求有：
- 光滑連續；
- 影響的節點有限。
無網格法常用插值方法有： 移動最小二乘、核函數與徑向基函數。整體方程有配點法、 最小二乘法、伽遼金法。伽遼金法是應用最廣、最穩定的無網 格法之一。
XFEM：1999年提出，擴展有限元法(XFEM)，在 Belytschko等學者努力下XFEM得到長足發展，在ABAQUS的6.10版本軟件中得以實現。
四、結構工程領域有限元法的發展趨勢
1. 多物理場耦合問題近年來有限元方法已發展到流體力學、溫度場、電傳導、 磁場、滲流和聲場等問題的求解計算，最近又發展到求解 幾個交叉學科的問題。如需要用固體力學和流體動力學的 有限元分析結果交叉叠代求解，即所謂“流固耦合”的問題。
2. 線性工程問題到非線性分析問題線性理論已經遠遠不能滿足設計的要求。例如土木工程中 的高層建築和大跨度懸索橋的出現，就要求考慮結構的大位 移和大應變等幾何非線性問題；
航天和動力工程的高溫部件存在熱變形和熱應力，也要考慮材料的非線性問題；諸如塑料、橡膠和複合材料等各種新材料的出現，僅靠線性計算理論就不足以解決遇到的問題，隻有 采用非線性有限元算法才能解決。
預應力混凝土梁開裂過程
3. 時變結構及連續倒塌問題結構不可能天生就存在那裡，也不可能憑空消失，所以 結構物的建造或則拆除過程，均為動态的，在不同階段可能表現出不同力學性能，其中存在很多複雜問題。有限元對于此類過程分析，往往根據施工過程，編制時程程序，動态跟蹤結構性能變化。
4. 優化問題：在有限元中有這幾個方面的需求，如邊界形狀優化、最小質量、等強度、等應變、動力學參數優化等，優化問題的特點是變量多（幾十/數百），許多實際的優化算法這樣多的變量中穩健性還有待提高。
5. 湍流問題：目前已經有一些較好的方法，如有限體積法等，仍需深入，目前湍流問題實際上根本不是算法問題，而是介質的物理模型問題；人們對湍流的認識可能還受到目前科學技術水平的限制。
有限元法不是萬能的，關鍵是其思想，它完美地體現了哲學中 局部與整體的關系，要解決整體問題，必須先研究局部問題， 局部問題研究清楚後，再研究局部之間作用的關系，然後各 個局部在一個統一的坐标尺度下綜合，考慮整個系統和外部的 關系，最後得到全局的特征。
有限元方法是我們認識世界的科學工具，但它的哲學含義、方 法論含義還遠沒有為人們所認識。
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