由于微積分的發明，數學在其精巧性上得到了一個巨大的飛躍。這些思想成了數學的一個廣闊領域（分析）的基礎。

極限

我們是怎樣知道2的平方根的？我們現在知道，2的平方根是一個無限不循環小數，趨近于一個實數x，我們無法真正地寫出x的值。通過逼近法，我們大概知道x=1.4142135……。

另外，我們如何用直尺測量一條曲線的長度？通常做法是，先沿着曲線畫幾個點P_0，P_1，P_2，…，P_n，然後，測量P_0到P_1的距離、P_1到P_2的距離，直到P_n。最後把這些直線距離加起來。如果點足夠多，分布又平均，測得的距離值就是一個很好的近似。此外，這種方法還能給出“準确長度”的意義：如果取無限多個點，那麼長度會趨近某個數y。這時，我們知道曲線的确切長度是y。

以上兩個例子中都涉及到一個數x，y，這兩個數是通過“逼近法”得到的。但是逼近一詞的意義有些含糊，把它定義清楚很重要。

下面兩個例子非常重要，建議熟記于心。第一個是序列

在某種意義下可以說這個序列趨近于1，因為每一項都比前一項離1更近。但是我們所謂的趨近于1并不是這個意義，關鍵并不在于離1越來越近，而在于能夠任意地接近，隻有一個數值是這個序列所要趨近的，它顯然就是“極限1”。

第二個例子用一種不同的方式說明這一點，

這些數趨近于0，雖然每一項并非每一項都比前一項更接近0。然而，有一點是真的，這個序列最終離0要多近有多近，而且以後一直至少那麼近。

“要多近就有多近，而且以後一直至少那麼近”這句話就是極限的數學概念的定義。

數列a_1，a_2，a_3…的極限是l，如果這個數列最終會離l要多近就有多近，而且以後一直至少那麼近。

然而，我們要把這句話翻譯成數學語言。

設δ為一正數（通常設想它很小），如果a_n與l的距離

小于δ，就說數列δ-逼近于l。說這個數列最終δ-逼近于l而且以後一直至少那麼近，這又是什麼意思呢？這就是說“從某一點往後，所有的a_n都δ-逼近于l”。什麼叫做“從某一點往後”呢？就是說有一個數N具有以下性質∶從N 往後，a_n都會δ-逼近于I，用符号來寫，就是

還有弄清楚，“要多近就有多近”是什麼意思，這就是說對于任何一個你想要指定的δ，這個句子都成立，用符号來寫就是

最後，翻譯翻譯什麼是δ-逼近于l，用符号來寫就是

極限的概念用于比數廣泛得多的範圍。如果有一族數學對象，又能夠說得出任意兩個這種對象的距離，就可以說，這種對象的序列有極限的問題。兩個對象，如果其距離小于δ，就說它們是δ-逼近的。例如空間裡的點的序列可以有極限，函數序列也可以有極限。一個進一5步的例子來自分形理論，在那裡出現 的 很複雜的圖形最好是定義為較簡單的圖形的極限。

連續性

假設您想要知道 π²的近似值，也許最簡單的是在計算器上按下按鈕 π，顯示出3.1415927，然後再按x²按鈕，又得出9.8696044。計算器并沒有對π做出準确值的平方，相反，它隻是做了3.1415927的平方。為什麼計算器做了一個錯誤的數的平方而不會出什麼問題呢？我們怎麼能知道，如果x是π的一個好的近似，那麼x²也會是 π²的一個好近似值呢？

如果x是π的一個好的近似，就可以寫出x=π＋δ，而δ是一個很小的數，于是

因為δ很小，所以2δπ＋δ²也很小，于是x²也就是π²的好近似值。

是什麼使得上面的推理有效？那就是把x變為其平方的函數是連續的。粗略地講，這意味着如果兩個數很接近，則它們的平方也很接近。

為了把連續性說得更精确一點，我們現在回到π²的近似計算，而且設想我們希望把它做得精确得多——例如使得小數點後的前100位數都是正确的。這時計算器不會有大的用處，但是我們可以找到π的十進小數展開式的各位數值（可以在網上找到這樣的值，它可以告訴你至少5000萬位），用它來作為新的x，這個x 是π的一個好得多的近似值，用電腦來做必要的很長的乘法，就能得出新的x²。

如果想要x²是π²的誤差在10^（-100）之内的近似值，x需要接近π到何種程度？為了回答這個問題。再令x=π＋δ，于是x²-π²=2δπ＋δ²，做簡單計算就知道，如果δ的模小于10的-101次方，則這個差的模就會小于10的-100次方。所以，隻要取π的前101位小數正确就行了。

比較一般地說，不論我們希望對π²的估計多麼精确，隻要使得x是π 的一個充分好的近似，就總能夠達到這個精确度。用數學的語言來說就是∶函數f（x）=x²在π點是連續的。

讓我們用符号來說明這一點。“在精确度ε之内，x²=π²”這個命題的意思是

所謂使x²=π²達到任意的精确度，就是要求上述不等式對于任意的ε都成立。所以，我們應該先說Vε>0。現在再來看“使得x是π的一個充分好的近似”這句話，這裡面的思想就是有一個 δ > 0，使得隻要x離π之差在δ之内，則可以保證近似的精确度在ε之内。這就是說，存在一個δ>0，使得若|x-π|<δ，就可以保證|x²-π²|<ε。把這一切都放到一起，就得到下面的符号語句∶

用通常的語言來說就是∶"給定任意正數ε，必有一個正數δ，使得若|x-π|小于δ，則有|x²-π²|<ε。"

我們已證明了函數f（x）=x²在點x=π處連續。現在我們把這個概念加以推廣∶令f為任意函數，而a為任意實數。我們說f在a處連續，如果

說函數f是連續的，就是說它在每一點a處都連續。粗略地說，就是f沒有“突然的跳躍”。

和極限的情況一樣，連續性的思想也可用于更一般的場合下，而且理由也相同。令 f 是由一個集合 X 到另一個集合 Y 的函數，而且設有兩個距離概念，其中一個适用于 X 的元素，另一個适用于Y 中的元素。用 d（x，a）表示x和a的距離，d（f（x），f（a））表示f（x）和f（a）的距離，我們說f在a處連續，如果

而如果f在X的每一點a都連續，就說f在X上連續。

連續函數也和同态一樣，可以看成是保持了某種結構的。可以證明，一個函數在 a 點連續當且僅當 a_n →a 時必有 f（a_n）→f（a）。這就是說，連續函數就是那種保持由收斂序列及其極限所提供的結構的函數。

微分

函數f在a點的導數，是衡量f（x）在x通過a點處的變化率的一個數。現在我們要推介一種稍有不同的看待它的方法，這個方法更為一般，而且打開了通向很大一部分現代數學的門戶。這個思想就是微分作為一種線性近似。

直觀地，f'（a）=m就是說，如果用一個非常強大的顯微鏡在包含點（a，f（a））的一個微小的區域裡去觀看 f 的圖像，則我們看到的，幾乎恰好就隻是一條梯度（即斜率）為m的直線。換句話說，在點a的充分小的鄰域裡，函數f近似地為線性函數。我們甚至可以把這個作為f的近似的線性函數g寫出來∶

這是過點（a，f（a））而梯度為m的直線的方程。另一個比較清楚的寫法是

說g在點a的一個小鄰域裡逼近 f，就是說當 h 很小時，f（a ＋ h）近似地等于f(a)+mh。

在這裡必須小心一點∶隻要f不發生突然的跳躍，則當h很小時，f（a＋h）總是很接近于f（a），而 mh 總是很小，從而 f（a＋h）總是近似地等于f（a）＋mh。似乎不論m是什麼數都是可以的，然而我們需要了解的是，當m=f'（a）時，會發生什麼特别的情況。把m=f'（a）這個特殊的值單獨提出來，并不僅僅在于f（a＋h）接近于f（a）＋mh，而且在于它能夠使二者接近到這樣的地步，即差ε（h）=f（a＋h）-f（a）-mh比h更小。就是說當h→0時，ε（h）/h→0。

這些概念能夠推廣的理由是∶線性映射的概念并不簡單地隻是一個由R到R 的形如 g（x）=mx＋c的函數，它還要廣泛得多。在科學、工程、經濟和許多其他領域裡出現的函數都是多元函數，所以可以看作是定義在一個維數大于1的向量空間裡的函數。隻要采用了這種觀點，立刻就會問，它們能否在一點的一個小鄰域中，用線性映射去逼近。如果能，那就非常有用了，一個一般的函數，性态可以極為複雜，但是如果能用線性函數去逼近它，至少在n 維空間的一個小鄰域裡，它的性态就容易理解多了。這時，可以用線性代數和矩陣的工具，這些工具會導出切實可行的計算，至少在借助于計算機時，這些計算是切實可行的。

舉例來說，想象一個氣象學家，他在觀測地球上空某個3維區域時，關心風在不同地點的方向和速度的變化。風的性态是非常複雜的，甚至是混沌的，但是為了得到對它的某種程度的掌握，可以這樣來描述它。對此區域的每一點（x，y，z），都附加一個向量（u，v，w）代表風在此點的速度，u，v和w就是x，y和z方向的分速度。

現在取三個小數h，k和l，用它們來把點（x，y，z）稍稍變動一下，再來看點（x＋h，y+k，z＋l）。我們希望，在這個新點上風速向量也稍有變化，成為（u＋p，v+q，w＋r）。 風速的微小變化（p，q，r）怎樣依賴于位置向量的微小變化（h，k，l）呢？隻要風不那麼像湍流，而h，k 和l又足夠小，我們希望這種依賴性大體上是線性的。換句話說，我們希望有某個線性映射T，使得當h，k和l足夠小的時候，（p，q，r）大體上就是（h，k，l），注意，（p，q，r）的每一個都依賴于所有的h，k，l，所以就需要9個數才能确定這個線性映射。事實上，我們可以把這個線性映射寫成矩陣形式∶

矩陣的各個項a_ij，就表示各個依賴性。例如，若x和z是固定的，也就是若h=l=0，由此可知 a_12就是分量 u 在隻有 y 變動時的變率。就是說，a_12是（x，g，z）點處的偏導數

這樣就算出了矩陣，采用向量記号更加方便。用黑體的字母x來表示（x，y，z），類似地，用黑體u（x）代表（u，v，w），黑體h代表（h，k，l），黑體p代表（p，q，r）。于是我們所說的就是對于某個比h更小的向量ε（h），有

換一個說法，我們可以寫出

這是一個與前面的公式 g（x＋h）= g（x）＋mh＋ε（h）非常相似的公式。它告訴我們，如果對x加上一個很小的向量h，則u（x）的改變大體就是T（h）。

成立，其中ε（h）是一個相對于h更小的向量，則定義u在點x∈R（有上标n）處可微。線性映射T稱為u在x點的導數。

• 無法打出上标，故截圖

對一元函數而言，可微可導是一回事；而對多元函數而言，偏導數存在不一定可微。

偏微分方程

偏微分方程在物理學中具有極大的重要性，而且啟發出了大量的數學研究。這裡要讨論三個基本的例子。

第一個例子是熱方程，它描述熱在一個物理介質裡的分布怎樣随時間變化，這時會得到下面的方程∶

這裡，T（x，y，z，t）刻畫位于（x，y，z）處在時刻t的溫度。方程左方的

很簡單，就是令空間坐标 x，y 和 z 不動而時間t 變化時，溫度T（x，y，z，t）的變化率。我們希望這個變化率依賴于什麼？熱在介質裡面傳播是需要時間的，雖然在遠處（x'，y'，z'）點的溫度終究會影響到（x，y，z）點的溫度，但是溫度正在變化的方式隻會受到近于（x，y，z）點的地方的溫度的影響，如果就在（x，y，z）很小範圍的鄰域内，介質溫度平均地比在此點熱一點，我們就會預期到溫度上升，如果冷一點，就預期會下降。

方程右方括弧裡的式子出現得很頻繁，所以它有一個簡寫的符号△，定義為

稱為拉普拉斯算子。那麼，△f關于函數f提供了什麼信息呢？答案是∶它告訴我們當這個鄰域的大小趨于零時，f在（x，y，z）點的值與它在（x，y，z）點的緊接着的鄰域裡的平均值的比較。

這一點從公式看并不明顯，但是下面的一維情況的論證卻給出為什麼會有二階導數出現的線索。令f是一個把實數變成實數的函數。為了得到f在x點的二階導數的一個好的近似，我們來對小的h看一下以下的表達式∶（f'（x）-f'（x-h））/h。導數f'（x）和f'（x-h）本身又可以分别用（f（x＋h）-f（x））/h和（f（x）-f（x-h））/h 來逼近，把這些近似的式子都代入早前的表達式，就會得到

它就等于（f（x＋h）-2f（x）＋f（x-h））/h²，把它的分子除以2，就得到

這就是f在x點的值與它在兩個鄰近點x＋h和x-h的平均值的差。

換句話說，二階導數傳遞的正是我們需要的思想——在x點的值和在x附近的平均值的比較。值得注意的是，如果f是線性的，則f（x-h）和f（x＋h）的平均值就等于f（x），這與我們熟知的事實，即線性函數f的二階導數為零是相符合的。

正如我們在定義一階導數時要用h去除f（x+h）-f（x），使得分子f（x+h）-f（x）不僅自身變得很小 ，而且與 h 的比值有極限。所以，對于二階導數，用 h² 去除是适當的，因為一階導數關系到線性逼近，二階導數關系到二次逼近，準确地說，對于函數f，在 x 點附近，最好的二次近似就是

而如果從一開始f就是一個二次函數，可以驗證，這個近似式變成了準确的。

可以追随這類思想來證明，如果f是三個變量的函數，則△f在（x，y，z）處的值确實告訴我們f在（x，y，z）處的值與它在（x，y，z）附近的平均值的比較如何（自變量的個數3在這裡沒有什麼特别，這裡的思想很容易推廣到任意多個變量的函數）。在熱方程裡，餘下需要讨論的就是參數k了，它量度介質的導熱性。

第二個很重要的方程是拉普拉斯方程 △f =0。直觀地看，它說的是，一個函數f在一點（x，y，z）的值總是等于它鄰域的平均值。如果f是一個變量x的函數，這個方程說的就是f的二階導數為零。然而，如果f是兩個或更多個變量的函數，情況就要靈活多變得多——這函數在某些方向上，可以位于切線上方，而在另一些方向上則位于切線下方。結果是，我們可以對f賦予多種邊值條件（就是在某個區域的邊界上指定f的值），而且這會有大得多也更加有趣的解的類。

第三個基本的方程是波方程。它的一維情況的陳述是∶它描述連接兩點A與B的振動的弦的運動。設用h（x，t）來表示弦在距離A為x處、時刻t時的高度。波方程指出

暫時不去管常數1/v²，方程左方表示弦在離開A點為x處的一小段的（鉛直方向的）加速度。這個加速度應該正比于作用于弦的這一小段的力。那麼，是什麼來決定這個力呢？暫時設弦包含 x 的一小段是直的，則從x 左方來的對弦的拉力與來自x右方的拉力就完全抵消了，而作用的淨力為零。這樣，問題又一次成了x處弦的高度與鄰近的高度平均值的比較，如果弦位于x處的切線的上方，就應該有一個向上的力，如果弦在下方，就應有向下的力。這就是為什麼二階導數又一次出現在方程右方。由這個二階導數到底能得出多大的力取決于以下因素，例如弦的密度和拉緊的程度，這樣在右方就出現了一個常數。因為h和x都是距離，v²就有（距離/時間）²的量綱，這就意味着v是一個速度，事實上，它就是波傳播的速度。

類似地，考慮可以給出三維的波方程，我們可以想象到，它應該是

或簡單一些寫為

還可以寫得更簡單些

這裡□是

的簡寫。算子□稱為達朗貝爾算子。

積分

設有一輛汽車沿直路行駛1分鐘，并且給出汽車的起點在哪裡，這1分鐘内的速度是多少，能不能算出車走了多遠？如果在整個1分鐘内，速度都是相同的，則問題很簡單。但是，若車速是在變化的，問題就比較有趣了。這時，我們不再試圖給出準确的答案，而是用下面的技巧去逼近它。

首先，給出汽車在這60秒的每一秒開始時的速度。其次，在每一秒内做一個簡單的計算，看看汽車在這1秒之内走了多遠。這個技巧就是假設汽車的速度在整個1秒鐘之内都等于它在1秒鐘之始的速度。最後，把這些距離加起來。因為1秒鐘隻是很短的一段時間，在這1秒鐘之内汽車的速度變化不會太大，所以這個方法會給出相當準确的答案。如果不滿意于其準确度，還可以把1分鐘分成更短的時間段。

如果你學過初等微積分課程，就會用一種完全不同的方法來解決這個問題了。在一個典型的問題裡，會給出速度在時刻t的顯示公式（例如at+u），要想算出汽車走了多遠，隻需要把這個函數"積分"出來，就得到在時刻t 已經走過的距離是

這裡的所謂積分就是微分的反運算∶要找出函數f（t）的積分，就是要找一個函數 g（t）使得g'（t）=f（t）。這樣做确實是有理由的，因為如果g（t）是走過的距離，而f（t）是速度，那麼，f（t）就是g（t）的變化率。

然而，反導數并不是積分的定義。要想知道為什麼不是，考慮下面的例子。如果在時刻t速度是

那麼走過的距離是多少？我們知道，沒有一個"好"的函數（所謂好函數，就是從諸如多項式、指數、對數、三角函數之類的标準的函數“構建”起來的函數）是以

為其導數的，然而這個問題确實是有意義的而且有确定的解答。

為了在這種反導數遇到困難時也能定義積分，我們又得回到前面讨論過的那種糊塗的逼近過程。沿這條思路的一個形式定義是由黎曼在19世紀中葉給出的。為了看清黎曼的基本思想，以及看清積分和微分一樣，可以很有用地用于多于一個變量的函數，我們來看另一個物理問題。

設有一塊質地不純的石頭，想要通過它的密度來算出它的質量。又設密度并非常值的，而是在整塊石頭内可以很不規則地變化，甚至石頭裡面可能有洞，所以在洞的那些地方密度為零。該怎麼辦？

黎曼的方法是這樣的。

• 第一步，把石頭放在一個立方體裡面。對于立方體的每一點（x，y，z）都有密度值 d（x，y，z）（如果點（x，y，z）取在石頭外部，或在一個洞裡，就令密度為零）。

• 第二步，把這個立方體分成許許多多的小立方體。

• 第三步，在每一個小立方體裡，找出密度最低的點，也找出密度最高的點。令C為一個小立方體，而設其中密度的最小與最大值分别為 a 和b，C的體積則為V，這時，石頭的 C 這一部分的質量必在aV和bV之間。

• 第四步，把這樣得到的aV加起來，也把這些bV加起來。如果總和為M_1和M_2，則石頭的總質量就在M_1和M_2之間。

• 第五步，把小立方體分得越來越小，并且重複上面的計算。這樣，M_1和M_2就會變得越來越接近，也就得到了石頭質量的越來越好的近似。

類似于此，如果讓黎曼來解汽車問題，他也會把這1分鐘的時間分成小區間，并且在這些小區間裡找出對于每一個小區間的最小與最大速度，就會得到一對數a和b，于是就可以說，汽車在這一小段時間裡的距離最少是a，而最多是b。把這樣兩組數加起來，就可以說，在整個1分鐘時間裡，汽車走過的距離至少是D_1，而最多是D_2。

在這兩個問題裡，都有一個函數（密度/速度），定義在一個集合（立方體/1 分鐘）上，要求出這個函數在某種意義下的"總量"。我們的做法都是把這個集合分成小的部分，而在這些小部分裡都用簡單的計算，得出這個量的下方與上方的近似。這個過程就以（黎曼）積分而聞名于世。若S表示這個集合，f表示這個函數，于是f在S上的總量，就叫做f在S上的（黎曼）積分，并且寫作

這裡用x 表示S的一個典型的元素。如果在密度的例子裡S的元素是點（x，y，z），則可以用 f（x）dx 這樣的向量記号，雖然并不常用，讀者可以從上下文分清“x”現在是代表向量，還是通常的實數。

我們花了不少功夫來把積分和反導數區分開來，但是有一個稱為微積分基本定理的著名定理，斷言這兩個方法（積分和反導）事實上會給出相同的答案，至少當所考察的函數具有所有的“合理的”函數一定會具有的某些連續性時是這樣的。所以，通常都認為把積分看成微分的反運算是合理的。确切些說，如果f是連續的，而F（x）可以對于某個常數a定義為

則F（x）可以微分，而且F'（x）=f（x）。就是說，如果先把一個連續函數積分了，再去做微分，就會得到原來的函數。反過來說，如果F有連續導數f，而a是一個适當選取的數，則

這就是說如果先把F微分了，然後再取積分，就又會回到F。事實上，需要選取一個任意的常數a，而得到的是函數F減去F（a）。

如果不假設連續性，那麼會得到什麼樣的例外，看一下所謂的赫維賽德（Heavi-side）階梯函數H（z）的例子，就會有一點概念了。當x<0時這個函數為0，而當想x≥0時為1。它在z=0處有一個跳躍，所以在那裡是不連續的。當x<0時這個函數的積分 J（x）為0，而當x≥0時為x。對于幾乎所有的x值，有J'（x）=H（x）。然而J（x）的梯度在0處會突然跳躍，所以J在那裡是不可微的，因而不能說J'（0）=H(0)=1。

全純函數

數學王冠上有一顆寶石，就是複分析，它研究的就是變數為複數的可微函數。這一類函數稱為全純函數。

這些函數一開始看來并沒有什麼特别的地方，因為在這個情況下，導數的定義也與實變量函數的導數定義一樣∶若f是一個函數，它在複數z處的導數定義也是當h趨于零時（f（z＋h）-f（z））/h的極限。然而，如果以稍微不同的方式來看這個定義就會發現，想要一個複函數可微并不那麼容易。回想一下，微分就是線性逼近。在複函數情況下這就是說，我們想用形為 g（w）= λw＋μ的函數去逼近f（w），這裡λ，μ都是複數（在z點附近，f（w）的這個逼近式就是

所以λ=f'（z），μ=f（z））。

讓我們從幾何上來看待這裡的情況。如果λ≠0，則對（w-z）乘以λ就相當于把它按照某個因子

再将它旋轉一個角θ=argλ。這意味着許多通常被認為是平面上的線性變換，例如反射、剪切、各方向不同的拉伸等等，現在都被排除了。為了确定λ，隻需要兩個實數，但是要确定平面上的一般的線性變換則需要四個。這種自由度數目的減少将用一組稱為柯西-黎曼方程的微分方程來表示。我們不再寫f（z）而把它寫為

這裡x，g分别是z 的實部和虛部，u（z＋iy），v（x＋iy）則是f（z）的實部和虛部。于是f在z點附近的線性逼近具有以下的矩陣∶

縮放和旋轉的矩陣形狀是

将它與上面的矩陣比較，就得到所謂的柯西—黎曼方程

它的一個推論就是

（并不清楚混合偏導數的對稱性是否作為必要條件而成立，但是對于全純函數，它是成立的）。所以 u 适合拉普拉斯方程。類似的論證表明v也是如此。

這些事實告訴我們，複的可微性是一個比實的可微性強得多的條件，所以可以預期，全純函數會有許多有趣的性質。

第一，關于微積分基本定理。設F是一個全純函數，而已知其導數f和F在某個複數 u 處的值，怎樣把F 重新構造出來？一個近似的方法如下∶

令w為另一個複數，我們想把F（w）構造出來。取一串點 z_0，z_1，…，z_m，其中z_0=u，而z_n=w。設所有的差

都很小。

由此可知F（w）-F（u）=F（z_n）-F（z_0）可以用

由上面的論證可以得到一個推論∶若路徑P從點z又回到同一點，則路徑積分為零。就是說，如果f是全純函數F的導數，則它在任意閉路徑上的積分為零。與此等價有∶若兩條路徑P_1和P_2有相同的起點z和相同的終點w，則

因為它們都等于F（w）-F（z）。這時，我們說如果f是全純函數F的導數，則它的積分值與積分路徑無關。

所有這些結果都是在一個大的假設——f是全純函數F的導數下才得到證明的。問題在于如果我們不是假設f是某個全純函數F的導數，而是假設它本身就是一個全純函數，以上結果是否仍然成立？複分析裡一個可以說是最重要的定理 ——柯西定理告訴我們，這些結果仍然成立。具體說，

為了使以上所說的這些結果成立，并不需要f定義在整個複數平面C上，如果限制f定義在整個複數平面的一個單連通區域，即沒有洞的開集合上，則以上的一切都成立。如果區域裡有洞，則在兩條有相同起點和終點的路徑上的積分，當這兩個路徑合起來包圍了洞時，這兩個積分的值可以相差一個常數。因此，路徑積分與平面的子集合的拓撲學有密切的關系，這一點觀察在整個現代幾何學裡面有繁茂的衍生物。

可以從柯西定理推導出一件驚人的事情，即若f是全純的，它一定可以微分兩次（對于實值函數，這是完全不真的）。 由此可得f'也是全純函數，所以也可以微分兩次。繼續下去，就知道f可以微分任意次。這樣，對于複函數，可微性蘊含無窮可微性。

一個密切相關的事實是，隻要一個全純函數有了定義，就一定能夠展開為幂級數。就是說，如果f定義在以w為中心、R為半徑的開圓盤上，而且在那裡可微，它就一定可以表示為

這個級數在這個圓盤中處處有效，即在此圓盤中收斂。這個幂級數稱為f的泰勒展開式。

全純函數的另一個基本的性質是它的全部性态可以由它在一個小區域裡的性态完全決定。這個性質說明了它們是何等地具有“剛性”。由此，如果f和g都是全純的，而且它們在某個小圓盤内取相同的值，則它們必定有相同的定義域而且處處取相同值。這個值得注意的事實允許定義一種所謂解析拓展的過程∶如果在想要定義一個全純函數的整個區域上去定義它有困難，那麼隻需簡單地在某個小區域裡定義它，然後就可以說，它處處都隻能取與已經确定的值相容的唯一的值。著名的黎曼ζ函數通常就是這樣定義的。

最後我們還要提到劉維爾的一個定理，這個定理說，如果f是定義在整個複平面上的全純函數，而且f是有界的（即存在一個常數C，使得對于每一個複數z都有|f（z）|≤C），則f必為常數。例如，函數sinx對于實的x，毫無困難地把有界性與極好的性質連在一起∶它可以展開為一個處處收斂的幂級數（然而，如果用這個幂級數把 sinx 拓展到複平面上，則如劉維爾定理所預期到的一樣，所得到的函數就不再是有界的了）。