數學小知識

阿拉伯數字在生活中，我們經常會用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這些數字。那麼你知道這些數字是誰發明的嗎？
這些數字符号原來是古代印度人發明的，後來傳到阿拉伯，又從阿拉伯傳到歐洲，歐洲人誤以為是阿拉伯人發明的，就把它們叫做“阿拉伯數字”，因為流傳了許多年，人們叫得順口，所以至今人們仍然将錯就錯，把這些古代印度人發明的數字符号叫做阿拉伯數字。
現在，阿拉伯數字已成了全世界通用的數字符号。

九九歌
九九歌就是我們現在使用的乘法口訣。
遠在公元前的春秋戰國時代，九九歌就已經被人們廣泛使用。在當時的許多著作中，都有關于九九歌的記載。最初的九九歌是從“九九八十一”起到“二二如四”止，共36句。因為是從“九九八十一”開始，所以取名九九歌。大約在公元五至十世紀間，九九歌才擴充到“一一如一”。大約在公元十三、十四世紀，九九歌的順序才變成和現在所用的一樣，從“一一如一”起到“九九八十一”止。
現在我國使用的乘法口訣有兩種，一種是45句的，通常稱為“小九九”；還有一種是81句的，通常稱為“大九九”。

音樂與數學
　　動人的音樂常給人以美妙的感受。古人雲：餘音繞梁，三日不絕，這說的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發聲振動頻率不同。
　　人類很早就在實踐中對聲音是否和諧有了感受，但對諧和音的比較深入的了解隻是在弦樂器出現以後，這是因為弦振動頻率和弦的長度存在着簡單的比例關系。近代數學已經得出弦振動的頻率公式是W=，這裡，P是弦的材料的線密度；T是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。
　　那麼，決定音樂和諧的因素又是什麼呢？人類經過長期的研究，發現它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單，兩音的感覺效果越純淨、愉快與和諧。
　　首先，最簡單之比是２：１。例如，一個音的頻率是160、7赫茲，那麼，與它相鄰的協和音的頻率應該是2×260、7赫茲，這就是高八度音。而與頻率為2×260、7赫茲的音和諧的次一個音是4×260、7赫茲。這樣推導下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂：
　　260、7，2×260、7，22×260、7……
我們把它簡記為C0，C1，C2，……，稱為音名。
由于我們讨論的是音的比較，可暫時不管音的絕對高度（頻率），因此又可将音樂簡寫為：
C0C1C2C3……
20212223……
　　需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的。一般說來這些協和音頻率之比是2M。（其中M是自然數）

等号與不等号Ec
　　等号與不等号的發明權屬于英國人。
　　１５５７年，數學家雷科德在他的《智慧的激勵》一書中，首先把“＝”作為等号，他說：“最相像的兩件東西是兩條平行線，所以這兩條線應該用來表示相等。”他的書《智慧的激勵》也因此引起了人們極大的興趣。
　　在數學中，等号“＝”既可表示兩個數相等，也可以表示兩個式子相等，但無論何種相等，它們都遵循以下規則：
　　（１）若a=b，那麼對于任何數c，有a±c=b±c；
　　（２）若a=b，那麼b=a；
　　（３）若a=b，b=c，那麼a=c；
　　（４）若a=b，那麼對于任何數c，有ac=bc。
　　人們起初用“”和“”。表示大于和小于，英國人烏特勒首次在他的《數學入門》一書中使用了它們。另一英國數學家哈裡奧特引入了現在的兩個符号：＞、＜。他在自己的書中明确地寫道：“a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量。”
　　不等号在數學中有着普遍應用，在使用它們時，應遵循如下原則（a、b為實數）
　　（１）若a＞b，則b＜a
　　（２）若a＞b，那麼對于任何實數c，有a±c＞b±c；
　　（３）若a＞b，c為大于零的實數，那麼ac＞bc；
　　（４）若a＞b，c為小于零的實數，那麼ac＜bc；
（５）若a＞b，b＞c，那麼a＞c。
加減乘除的來曆
　　加減乘除（＋、－、×(?)、÷(∶））等數學符号是我們每一個人最熟悉的符号，因為不光在數學學習中離不開它們，幾乎每天的日常的生活也離不開它們。别看它們這麼簡單，直到１７世紀中葉才全部形成。
　　法國數學家許凱在１４８４年寫成的《算術三篇》中，使用了一些編寫符号，如用D表示加法，用M表示減法。這兩個符号最早出現在德國數學家維德曼寫的《商業速算法》中，他用“＋”表示超過,用“─”表示不足。到１５１４年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示減法。１５４４年，德國數學家施蒂費爾在《整數算術》中正式用“＋”和“─”表示加減，這兩個符号逐漸被公認為真正的算術符号，廣泛采用。
　　以符号“×”代表乘是英國數學家奧特雷德首創的。他于１６３１年出版的《數學之鑰》中引入這種記法。據說是由加法符号＋變動而來，因為乘法運算是從相同數的連加運算發展而來的。後來，萊布尼茲認為“×”容易與“X”相混淆，建議用“?”表示乘号，這樣，“?”也得到了承認。
除法符号“÷”是英國的瓦裡斯最初使用的，後來在英國得到了推廣。除的本意是分，符号“÷”的中間的橫線把上、下兩部分分開，形象地表示了“分”。至此，四則運算符号齊備了，當時還遠未達到被各國普遍采用的程度。
零的曆史
　　數學史家把０稱作“哥倫布雞蛋”，這不僅是因為０的形狀像雞蛋，其中還含有深刻的哲理。凡事都是開創時困難，有人開了端，仿效是很容易的。０的出現就是一個典型的例子，在發明之前，誰都想不到，一旦有了它，人人都會用簡單的方法來記數。
　　我們知道，零不僅表示一無所有，它還有以下的一些意義；在位值制記數法中，零表示“空位”，同時起到指示數碼所在位置的作用，如３０４中的０表示十位上沒有數；零本身還是一個數，可以同其他的數一起參與運算；零是标度的起點或分界，如每天的時間從０時開始。
　　在古代巴比倫，楔形文字的零号已起到現今位值制中０号的作用，它一方面表示零位，另一方面也指明數碼的位置。然而他們還沒有把零看作一個數，也沒有将它和“一無所有”這一概念聯系起來。
　　印度人對零的最大貢獻是承認它是一個數，而不僅僅是空位或一無所有。婆羅摩笈多對零的運算有較完整的叙述：“負數減去零是負數，正數減去零是正數，零減去零什麼也沒有；零乘負數、正數或零都是零。……零除以零是空無一物，正數或負數除以零是一個以零為分母的分數”。每一個學過除法的人都知道，零不可以作除數，因為如果a≠0而b=0，那就不可能存在一個Ｃ使得bc=a。這個道理盡人皆知，但在得到正确結論之前，卻經曆了漫長的曆史。
　　我國自古以來就用算籌來記數，早就用算籌來記數，用的是１０進位值制。巴比倫知道位值制，但用的是６０進制。印度到公元５９５年才在碑文上有明确的１０進位值制的記數法。位值制必須有表示零的辦法。起初，中國使用空格來表示零，後來以○表示零，後來印度的０就傳入了中國。
在我們眼裡，零的存在是那麼自然、簡潔，但就是這麼一個簡單的零，卻也有這麼一段頗不簡單的曆史。
數學中的符号
　　我們知道，數學起源于結繩記數和土地測量。最初，并沒有标準數學符号，符号是後來的實踐中逐漸産生并進一步完善的。但是，數學符号一旦産生，就能簡化數學研究工作，促進數學的發展。所以，學習數學，要從數學符号開始。阿拉伯數字１、２、３、…９、０就是最簡單，常用的符号，也就是它們引起了數學上的一場革命。
數學家韋達第一個把符号引入數學，他用元音字母表示未知量，用輔音字母表示已知量（方程的正系數）。此前，所有的已知數都是用具體數字表達的，從而限制數學的應用範圍。現在的符号體系是笛卡爾創立的。他提出，用英文字母中前面的字母a、b、c表示已知數，最後的字母x、y、z表示未知數。
符号的使用推動了數學本身的發展。符号一經形成，便成為表述概念，說明方法和叙述定理必不可少的工具。建立較好的符号系統，便于總結運算法則，揭示數量關系利于推理。一句話，符号是數學前進，發展，運用的工具。
　　數學符号一般有以下幾種：
　　（１）數量符号：如,,,ｉ，２＋ｉ，ａ，ｘ，，自然對數底e，圓周率。
　　（２）運算符号：如加号（+），減号（-），乘号（×或?），除号（÷或／），兩個集合的并集（∪），交集（∩），根号（），對數（log，lg，ln），比（∶），微分（d），積分（∫）等。
　　（３）關系符号：如“=”是等号，“≈”或“”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“”表示變量變化的趨勢，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是正比例符号，“∈”是屬于符号等。
　　（４）結合符号：如圓括号“（）”方括号“[]”，花括号“{}”括線“—”B
　　（５）性質符号：如正号“+”，負号“-”，絕對值符号“‖"
　　（６）省略符号：如三角形（△），正弦（sin），X的函數（f(x)），極限（lim），因為（∵），所以（∴），總和（∑），連乘（∏），從N個元素中每次取出R個元素所有不同的組合數（C），幂（aM），階乘（！）等。
數學符号的應用，是學習數學、研究數學的重要途徑，願同學們在數學中學好符号，用好符号。

為什麼時間和角度的單位用六十進位制
時間的單位是小時，角度的單位是度，從表面上看，它們完全沒有關系。可是，為什麼它們都分成分、秒等名稱相同的小單位呢？為什麼又都用六十進位制呢？
我們仔細研究一下，就知道這兩種量是緊密聯系着的。原來，古代人由于生産勞動的需要，要研究天文和曆法，就牽涉到時間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉，這裡自轉的角度和時間是緊密地聯系在一起的。因為曆法需要的精确度較高，時間的單位"小時"、角度的單位"度"都嫌太大，必須進一步研究它們的小數。時間和角度都要求它們的小數單位具有這樣的性質：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數倍。以1/60作為單位，就正好具有這個性質。譬如：1/2等于30個1/60，1/3等于20個1/60，1/4等于15個1/60……
數學上習慣把這個1/60的單位叫做"分"，用符号"′"來表示；把1分的1/60的單位叫做"秒"，用符号"″"來表示。時間和角度都用分、秒作小數單位。
這個小數的進位制在表示有些數字時很方便。例如常遇到的1/3，在十進位制裡要變成無限小數，但在這種進位制中就是一個整數。
這種六十進位制（嚴格地說是六十退位制）的小數記數法，在天文曆法方面已長久地為全世界的科學家們所習慣，所以也就一直沿用到今天。

"0"是我國最早創造的
我們知道阿拉伯數字１、２、３、４、５、６、７、８、９原是印度人發明的，１３世紀後期傳入中國，人們誤認為０也是印度人發明的。其實印度起先發明時沒有“０”，他們把“２０４”，寫成“２４”，中間空着，把２００４，寫成“２４”，怎麼區别中間有幾個零呢？為了避免看不清，就用點“·”來表示，２０４寫成“２·４”，那不和小數混淆了？直到公元８７６年才把“０”确定下來。
我國卻在１２４０年前就已創造了“０”，我國的零，當時是“○”，它是根據寫字時缺字用“□”來表示缺字，“０”表示這個數沒有，或這個數位上沒有，用“○”表示，随着人們長期不斷地記數，慢慢發展演變，最後确定為今天的“０”。因此以“０”作為零是我國古代數學家的一項傑出貢獻。

米的誕生
在公元1790年之前世界各國的長度單位幾乎各不相同，給不同國家的人們之間相互交流帶來了很大的麻煩。這時，法國的一位科學家他雷蘭提出了制定一個世界各國通用單位的建議。
　　法國的學者取得世界各國的同意，把地球子午線上從北極到赤道的長度的一千萬分之一作為長度的單位，叫做1米。
當時的科學技術還很不發達。測量了整整七年，實際還隻是僅僅測量了西班牙的巴賽羅納和法國的敦刻爾克之間的距離。通過計算得到了最初的1米。
　　後來1960年的國際會議規定。一米為氪（K8）原子在真空中發射的橙色光波波長的1650763.73倍。

圓周率
圓的周長與直徑的比。圓周率是一個常數，通常用希臘字母π表示。如果設圓的直徑為1，并把圓内接正六邊形的周長（P6=3）看作是圓周長的近似值，那麼圓周率的近似值就為3。這是我國古代最早所用的圓周率“徑一周三（即取π≈3）”的來曆，後人稱為古率。把圓内接正六邊形的邊數加倍，可以得到圓内接正十二邊形，再加倍，可以得到圓内接正二十四邊形，……。這一些圓内接正多邊形，當邊數成倍增長時，它們的周長Pn也不斷增大，越來越接近于圓的周長，因此，Pn與直徑的比值也越來越接近于圓周率準确值。這種求圓周率的方法稱為“割圓術”。三國時魏人劉徽用割圓術求得3.141024＜π＜3.1412704。南北朝的祖沖之進一步算得比西方達到這一結果要早1100多年。圓周率π是一個無理數，即是一個無限不循環小數。

圓的曆史
古代人最早是從太陽，從陰曆十五的月亮得到圓的概念的，那麼是什麼人作出第一個圓的呢？
　18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鑽孔，一面鑽不透，再從另一面鑽。石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個半徑和圓心一圈圈地轉就可以鑽出一個圓的孔。
　　到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是将泥土放在一個轉盤上制成的。
　　6000年前，半坡人就已經會造圓形的房頂了。
　　古代人還發現圓的木頭滾着走比較省勁。後來他們在搬運重物時，就把幾段圓木墊在重物的下面滾着走，這樣就比扛着走省勁得多。
　　大約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓的木輪。約在4000年前，人們将圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。
　　會作圓并且真正了解圓的性質，卻是在2000多年前，是由我國的墨子給出圓的概念的：“一中同長也。”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾裡得給團下定義要早100年。

奇妙的圓形
圓形，是一個看來簡單，實際上是很奇妙的圓形。
　　古代人最早是從太陽，從陰曆十五的月亮得到圓的概念的。一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔，那些孔有的就很圓。
以後到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是将泥土放在一個轉盤上制成的。
當人們開始紡線，又制出了圓形的石紡缍或陶紡缍。
　　古代人還發現圓的木頭滾着走比較省勁。後來他們在搬運重物的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾着走，這樣當然比扛着走省勁得多。
　　大約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子--圓的木盤。大約在4000多年前，人們将圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。
　　會作圓，但不一定就懂得圓的性質。古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的神聖圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個定義："一中同長也"。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾裡得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。
圓周率，也就是圓周與直徑的比值，是一個非常奇特的數。
《周髀算經》上說"徑一周三"，把圓周率看成3，這隻是一個近似值。美索不達來亞人在作第一個輪子的時候，也隻知道圓周率是3。
　　魏晉時期的劉徽于公元263年給《九章算術》作注。他發現"徑一周三"隻是圓内接正六邊形周長和直徑的比值。他創立了割圓術，認為圓内接正多連形邊數無限增加時，周長就越逼近圓周長。他算到圓内接正3072邊形的圓周率，π=3927/1250。劉徽已經把極限的概念運用于解決實際的數學問題之中，這在世界數學史上也是一項重大的成就。
　　祖沖之（公元429-500年）在前人的計算基礎上繼續推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數精确值，他還用兩個分數值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。
　　在歐洲，直到1000年後的十六世紀，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個數值。
　　現在有了電子計算機，圓周率已經算到了小數點後一千萬以上了。

天文與數學
有這麼一張畫，下面是一隻小船，上面是三個太陽。這是什麼意思呢？這表示，坐了三天船。太陽升落一次，就是一天，所以一天又叫一日。日，是人們認識時間的基礎。向上，将日積累為月、年、世紀；向下，将日分為時、分、秒。為了記載日數，原始人曾經用刀在樹上刻記号，過一天刻上一道。
　　我國古代很早就發展了畜牧業和農業，因此很重視曆法，天文學非常發達。而天文學隻有借助于數學才能發展，因此，很早就開始了數學的研究。我國最早的一部數學著作《周髀算經》，是兩千多年前成書的。它既是一部數學著作，也是一部天文學著作。它總結了古代勞動人民天文學和數學的成就。
　　我國古代曾經用幹支記日。十幹就是：甲、乙、丙、丁、戍、已、庚、辛、壬、癸。十二支即：子、醜、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将十幹和十二支依次循環組合，就得甲子、乙醜、丙寅、丁卯……直到任戌、癸亥等六十個數（現在稱六十甲子）。一個數代表一天，從甲子到癸亥，一共六十天，再從甲子開始，周而複始。例如公元前632年4月4日，爆發了著名的“城濮大戰”，在《左傳》上記載的是：“夏月己已。”
　　幹支不僅可以記時和日，也可以用來記月和年。月，是從月亮來的。月亮，每晚有變化。不但月出月落時間上有變化，月亮形狀也有變化；圓了又缺，缺了又圓。這是古代人觀察得到的。從新月在天上出現，一天天過去了，月亮圓了又缺了，不見了，到下次新月又在天上出現，古代人根據刻的日子計算得到，一個月29天半。（現在知道：一個朔望月有29日12小時44分3秒，或29.53日）為了使一個月的日子是整數，以後又規定大月30天，小月29天。
　　《詩經》上說：“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之醜。”根據我國天文學史家推算：公元前776年10月1日早上7-9點發生過日食，這天正是辛卯日。這裡的“朔”字是我國第一次使用的，意思是整晚見不到月亮。
　　計年的方法比記月的多。如果開始計算的時候是收獲季節，過了12個多月，地球繞太陽走了一圈，果子、谷物又成熟了，那就叫做一年。我國古代黃河流域的人和古代斯拉夫人都是這麼計算的。埃及的尼羅河每年7月開始泛濫，古代埃及人就将兩次泛濫之間的日子稱為一年。美洲印第安人計算年以初雪為标志，澳洲人則根據雨季計算。我國黑龍江一帶的居民，以吃大馬哈魚作為一年的标準。因為大馬哈魚定年定時由海裡進入黑龍江。這些計算年的方法當然都是很原始，很不精确的。我們現在都知道，地球繞太陽一周，也就是一個太陽年，等于365天5小時48分46秒或365.242194天。如果根據月亮來算，一年12個月卻隻有354天或355天，平均差了10天21小時。一年差10天多，如果過上兩三年就不得了，這對遊牧民族和農業民族定季節就大大不利。于是每過兩三年就增加一個月，叫做閏月，有閏月的年叫閏年。閏年一年就有384或385天。
　　我國早在四千年前的夏朝就開始制定曆法，所以叫做夏曆。在三千年前，就有十三月的名稱了。到兩千多年前，人們知道了一年等于12又7/19陰曆的月，就采用“19年7閏”的方法設置閏月。夏曆既是根據月亮（太陽），也根據太陽，所以是陰陽曆的一種，兩千多年前秦始皇的時候（公元前246年）就測得了一年平均是365又1/4天。它比陰曆優越，隻是平年和閏年，日數相差太大了。
　　現在世界通用的公曆（陽曆）也經過一個長期演變的過程。我們先看，公曆每個月的日數是固定的：“七前單大，八後雙大”。也就是說，一、三、五、七、八、十、臘月（十二月）是31天，四、六、九、十一月是30天，隻有二月，平年28天，閏年29天。
　　二月平年為什麼隻有28天？原來，我們今天用的公曆是從儒略曆變來的。在公元前46年，羅馬的統帥叫儒略·恺撒。據說他的生日在7月，為了表示他的偉大，于是他決定：将7月叫“儒略月”，連同所有單月都定為31天，雙日定為30天，隻有2月平年29天，閏年30天。因為2月是行刑的月份，所以減少一天。恺撒的繼承人叫奧古斯都，他的生日在8月。偉大人物生日的那個月隻有30天那怎麼行？他決定将8月叫“奧古斯都月”，并且将8月、10月、12月都改為31天，9月、11月都改為30天。這一來不就多了一天嗎？于是又從2月裡拿出一天來。從此2月平年就隻有28天，閏年隻有29天了。
　　閏年為什麼要多一天呢？前面我們說過，地球繞太陽一周要365天5小時48分46秒。為了方便，一年算365天。那麼，多出的5小時多怎麼辦呢？人們想，每隔4年，就差不多可以湊上一天了，于是四年一閏，在閏年2月加一天，現在，公曆年數，凡是能被4整除的，如1984、1988、1992、1996年都定為閏年的。可是，問題還沒有完，因為四年實際上隻多了23小時15分4秒，還差44分56秒。這個差數積累400年，又少了3天。也就是說，每隔400年要少設三個閏年才行。于是又規定，整百年的數必須能被400整除才算閏年，否則不算。例如1600、2000、2400才算閏年。1700、1800、1900年都不算閏年。這樣，每400年差的三天就扣出來了。當然，還有一點點差距，但是那隻要3000年以後再調整就行了。

“數學”這一名稱的由來
古希臘人在數學中引進了名稱，概念和自我思考，他們很早就開始猜測數學是如何産生的。雖然他們的猜測僅是匆匆記下，但他們幾乎先占有了猜想這一思考領域。古希臘人随意記下的東西在１９世紀變成了大堆文章，而在２０世紀卻變成了令人讨厭的陳辭濫調。　　　
在現存的資料中，希羅多德（Ｈｅｒｏｄｏｔｕｓ，公元前４８４－－４２５年）是第一個開始猜想的人。他隻談論了幾何學，他對一般的數學概念也許不熟悉，但對土地測量的準确意思很敏感。作為一個人類學家和一個社會曆史學家，希羅多德指出，古希臘的幾何來自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹沒土地，為了租稅的目的，人們經常需要重新丈量土地；他還說：希臘人從巴比倫人那裡學會了日晷儀的使用，以及将一天分成１２個時辰。希羅多德的這一發現，受到了肯定和贊揚。認為普通幾何學有一個輝煌開端的推測是膚淺的。
　柏拉圖關心數學的各個方面，在他那充滿奇妙幻想的神話故事《費德洛斯篇》中，他說：
　　故事發生在古埃及的洛克拉丁（區域），在那裡住着一位老神仙，他的名字叫賽斯（Ｔｈｅｕｔｈ），對于賽斯來說，朱鹭是神鳥，他在朱鹭的幫助下發明了數，計算、幾何學和天文學，還有棋類遊戲等。
　　柏拉圖常常充滿了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亞裡士多德最後終于用完全概念化的語言談論數學了，即談論統一的、有着自己發展目的的數學。在他的《形而上學》（Ｍｅｔａ－ｐｈｙｓｉｃｓ）第１卷第１章中，亞裡士多德說：數學科學或數學藝術源于古埃及，因為在古埃及有一批祭司有空閑自覺地緻力于數學研究。亞裡士多德所說的是否是事實還值得懷疑，但這并不影響亞裡士多德聰慧和敏銳的觀察力。在亞裡士多德的書中，提到古埃及僅僅隻是為了解決關于以下問題的争論：１．存在為知識服務的知識，純數學就是一個最佳的例子：２．知識的發展不是由于消費者購物和奢華的需要而産生的。亞裡士多德這種“天真”的觀點也許會遭到反對；但卻駁不倒它，因為沒有更令人信服的觀點．
　　就整體來說，古希臘人企圖創造兩種“科學”的方法論，一種是實體論，而另一種是他們的數學。亞裡士多德的邏輯方法大約是介于二者之間的，而亞裡士多德自己認為，在一般的意義上講他的方法無論如何隻能是一種輔助方法。古希臘的實體論帶有明顯的巴門尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的輕微影響，實體論的特征僅在以後的斯多葛派和其它希臘作品的翻譯中才表現出來。數學作為一種有效的方法論遠遠地超越了實體論，但不知什麼原因，數學的名字本身并不如“存在”和“理性”那樣響亮和受到肯定。然而，數學名稱的産生和出現，卻反映了古希臘人某些富于創造的特性。下面我們将說明數學這一名詞的來源。
　　“數學”一詞是來自希臘語，它意味着某種‘已學會或被理解的東西’或“已獲得的知識”，甚至意味着“可獲的東西”，　“可學會的東西”，即“通過學習可獲得的知識”，數學名稱的這些意思似乎和梵文中的同根詞意思相同。甚至偉大的辭典編輯人利特雷（Ｅ．Ｌｉｔｔｒｅ　也是當時傑出的古典學者），在他編輯的法語字典（１８７７年）中也收入了“數學”一詞。牛津英語字典沒有參照梵文。公元１０世紀的拜占庭希臘字典“Ｓｕｉｄａｓ”中，引出了“物理學”、“幾何學”和“算術”的詞條，但沒有直接列出“數學”—詞。　　
　　“數學”一詞從表示一般的知識到專門表示數學專業，經曆一個較長的過程，僅在亞裡士多德時代，而不是在柏拉圖時代，這一過程才完成。數學名稱的專有化不僅在于其意義深遠，而在于當時古希臘隻有“詩歌”一詞的專有化才能與數學名稱的專有化相媲美。“詩歌”原來的意思是“已經制造或完成的某些東西”，“詩歌”一詞的專有化在柏拉圖時代就完成了。而不知是什麼原因辭典編輯或涉及名詞專有化的知識問題從來沒有提到詩歌，也沒有提到詩歌與數學名稱專有化之間奇特的相似性。但數學名稱的專有化确實受到人們的注意。
　　首先，亞裡士多德提出，　“數學”一詞的專門化使用是源于畢達哥拉斯的想法，但沒有任何資料表明對于起源于愛奧尼亞的自然哲學有類似的思考。其次在愛奧尼亞人中，隻有泰勒斯（公元前６４０？－－５４６年）在“純”數學方面的成就是可信的，因為除了第歐根尼·拉爾修（Ｄｉｏｇｅｎｅｓ　Ｌａｅｒｔｉｕｓ）簡短提到外，這一可信性還有一個較遲的而直接的數學來源，即來源于普羅克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ）對歐幾裡得的評注：但這一可信性不是來源于亞裡士多德，盡管他知道泰勒斯是一個“自然哲學家”；也不是來源于早期的希羅多德，盡管他知道塞利斯是一個政治、軍事戰術方面的“愛好者”，甚至還能預報日蝕。以上這些可能有助于解釋為什麼在柏拉圖的體系中，幾乎沒有愛奧尼亞的成份。赫拉克利特（公元前５００－－？年）有一段名言：“萬物都在運動中，物無常往”，　“人們不可能兩次落進同一條河裡”。這段名言使柏拉圖迷惑了，但赫拉克賴脫卻沒受到柏拉圖給予巴門尼德那樣的尊敬。巴門尼德的實體論，從方法論的角度講，比起赫拉克賴脫的變化論，更是畢達哥拉斯數學的強有力的競争對手。
　　對于畢達哥拉斯學派來說，數學是一種“生活的方式”。事實上，從公元２世紀的拉丁作家格利烏斯（Ｇｅｌｌｉｕｓ）和公元３世紀的希臘哲學家波菲利（Ｐｏｒｐｈｙｒｙ）以及公元４世紀的希臘哲學家揚布利科斯（Ｉａｍｂｌｉｃｈｕｓ）的某些證詞中看出，似乎畢達哥拉斯學派對于成年人有一個“一般的學位課程”，其中有正式登記者和臨時登記者。臨時成員稱為“旁聽者”，正式成員稱為“數學家”。
　　這裡“數學家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數學。畢達哥拉斯學派的精神經久不衰。對于那些被阿基米德神奇的發明所深深吸引的人來說，阿基米德是唯一的獨特的數學家，從理論的地位講，牛頓是一個數學家，盡管他也是半個物理學家，一般公衆和新聞記者甯願把愛因斯坦看作數學家，盡管他完全是物理學家。當羅吉爾·培根（Ｒｏｇｅｒ　Ｂａｃｏｎ，１２１４－－１２９２年）通過提倡接近科學的“實體論”，向他所在世紀提出挑戰時，他正将科學放進了一個數學的大框架，盡管他在數學上的造詣是有限的，當笛卡兒（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６－－１６５０年）還很年輕時就決心有所創新，于是他确定了“數學萬能論”的名稱和概念。然後萊布尼茨引用了非常類似的概念，并将其變成了以後産生的“符号”邏輯的基礎，而２０世紀的“符号”邏輯變成了熱門的數理邏輯。
　　在１８世紀，數學史的先驅作家蒙托克萊（Ｍｏｎｔｕｃｌａ）說，他已聽說了關于古希臘人首先稱數學為“一般知識”，這一事實有兩種解釋：一種解釋是，數學本身優于其它知識領域；而另一種解釋是，作為一般知識性的學科，數學在修辭學，辯證法，語法和倫理學等等之前就結構完整了。蒙托克萊接受了第二種解釋。他不同意第一種解釋，因為在普羅克洛斯關于歐幾裡得的評注中，或在任何古代資料中，都沒有發現适合這種解釋的确證。然而１９世紀的語源學家卻傾向于第一種解釋，而２０世紀的古典學者卻又偏向第二種解釋。但我們發現這兩種解釋并不矛盾，即很早就有了數學且數學的優越性是無與倫比的。

數的發展
計數方法的出現
　　一般說來，最古老的數學應當從人類把大小、形狀和數的概念系統化方面所作的最初的也是最基本的努力算起。因此，有數的概念和懂得計數方法的原始人的出現可以看作是數學的第一起點！
　　數的概念和計數方法還在有文字記載以前就發展起來了。但是，關于這些數學的發展方式則多半來源于揣測。人類的在最原始的時代就有了數的意識，至少在為數不多的一些東西中增加幾個或從中取出幾個時，能夠辨認其多寡。随着逐步進化，簡單的計算成為了生産和生活中必不可少的活動。一個部落首領必須知道自己的部落有多少成員、有多少敵人；一個人需要知道他羊群裡的羊是否少了。或許最早的計數方法是使用簡單算籌以一一對應的原則來進行的。例如，當數羊的隻數時，每有一隻羊就扳一個指頭。顯然，古人也能夠使用一些簡單的方法計數，例如集攢小石子或小木棍；在土塊或石頭上刻道或在木頭上刻槽；或在繩上打結，作為對應于為數不多的東西的數目的語言符合。以後，随着書寫方式的改變，逐漸形成了一族代表這些數目的書寫符号。
　　在語言計數的較早階段，即使是同樣的數字，但如果實際物體不同，表示方法也大不一樣。例如，對于兩隻羊和兩個人所用的語音詞是不同的。例如，在英語中有teamofhorse表示共同拉車，拉犁的兩匹馬，yokeofoxen共扼的兩頭牛，braceofpartridge一對鹧鸪，pairofshoes一雙鞋。把2種共同性質加以抽象，并采用與任何具體事物都無關的某個語音來代表它，或許人類經過很長時間以後才實現的，雖然在今天看來，這是如此的簡單。
計數方法的系統化
　　随着社會生産的發展，更為廣泛的計數成為了生活和生産的必需。要完成這樣複雜的計數就必須将計數的方法系統化。

　　古人采取的方法是這樣的：把數目排列成便于考慮的基本群；群的大小多半以所用的匹配方式而定。也就是說：選取某一數b作為計數的基（base）也叫記數根（radix）或進位制（scale）并定出數目1，2，3……b的名稱。這時，大于b的數目用已選定名稱的數目的組合表示。
　　由于人的手指提供了一個方便的匹配工具，所以，人們大多選用10個數作為數基b，這是不奇怪的。例如，考慮我們現在用的數詞，它們就是以10為基而形成的。1，2，……10這十個數，英語中均有基特殊的名稱：one,two,……ten。當我們數到十一時，我們說"eleven"11；語言學家告訴我們，它是從einlifon導出的意思是剩下或比10多1。類似地，twelve（12）是從twelif比10多2導出的；還有，thirteen13，即3和10；fourteen14，即4和10；一直到nineteen19，即9和10。然後有twenty20，即twe-tig，或兩個10。Twenty-one（兩個10和1）等等。
　　有證據表明：2，3和4也曾被當作原始的數基。例如，澳洲東部昆士蘭的土人就是這麼計數的："1，2，2和1，兩個2，多"一些非洲矮人以1，2，3，4，5和6就是這麼計教的："a,oa,ua,oa-oa,oa-oa-a,和oa-oa-oa。"阿根廷火地島的某部落，頭幾個數的名稱，就是以3為基的；與此相似，南美的一些部落用4為基。
　　可以設想：五進制即以5為基的數系，是最初用得很廣泛的計數法。到現在，一些南美的部落還是用手計數-"1，2，3，4，手，手和1"等等。西伯利亞的尤卡吉爾人用的是混合基計數法："1，2，3，3和1，5，兩個3，多1個，兩個4，10去1，10。"德國農民日曆，一直到1800年還以5為數基。
　　也有證據表明，在有史以前12曾被用作數基，即采用十二進制，這主要與量度有關，使用這樣的一個數基，可能是由于一年大約有12年朔望月；也可能是上于12能被許多整數整除。例如，1英尺是12英寸，古代的一英磅是12盎斯，1先令是12便士，1英寸是12英分，鐘有12個小時，一年有12個月。Dozen（打），gross（籮）這些詞在英語中還用作更高級的單位。（一打是12個，一籮是12打）。
　　二十進制即以20為基的數系，曾被廣泛應用，它使用人想起人類的赤腳時代。這種計數法，曾經由美洲印第安人使用，并以其用于高度發達的瑪雅（Maya）數系中而著稱。法語中用quartevingt四個20代替huitante80，用quatre-vingt-dix四個20加10代替nonante90，從這裡可以看出克爾特人以20為基數的痕迹。在蓋爾人、丹麥人和威爾士人的語言中也能發現這種痕迹。格陵蘭使用"一個人"代表20，"兩個人"代表40等等。英國人也常用score20這個字。
　　古代巴比倫人用六十進位制，即以60為基的數系，直到現在，當以分、秒為單位計量時間和角度時，六十進位制仍被廣泛使用。
手指記數
　　在遙遠的古代，除了口頭上說的數以外，手指數（fingernrmber）在也曾被廣泛應用。事實上，用手指和手的不同位置表示數，應該比使用數的符号或數的名稱還早。例如，最早的表示1，2，3和4的書寫符号是适當數目的豎的或橫的筆劃，它們堅起平伸的手指數目；digit（即手指）這個詞也可以用來表示數字（從1到9），這也能追溯到同一來源。

　　有一段時間，手指數曾被擴展到包括出現在商業交易中的最大的數，并且在中世紀就已為國際通用。發展到後來，1，2，……和10，20……90這些數用左手來表示，100，200……900和1，000，……9，000，這些數用右手來表示。用這種方法，10，000以内的任何數都能用兩隻手表示。
　　手指數的樣式，在文藝複興時期的算術書上有記載。例如，用左手，部分屈折的小指表示1，部分屈折的小指和無名指表示2，部分屈折的小指、無名指和中指表示3，屈折中指和無名指表示4，屈折的中指表示5，屈折的無名指表示6，完全屈折的小指表示7，完全屈折的小指和無名指表示8，完全屈折的小指、無名指和中批表示9。
　　雖然手指數起源于很古老的年代，在今天，在非洲的某些原始種族中，在阿拉伯人中，在伊朗人中仍被采用。在北美和南美，某此本地的印第安人和愛斯基摩人的部落中仍然采用手指數。
記錄工具的出現
　　數字的記錄和長期保存離不開記錄的工具。但是，記錄工具的發明和改進是一個非常漫長的過程。我們現在常用的機器制造的紙張隻有100多年的曆史。以前的手工制作的紙是非常昂貴和難以得到的，即使是這種紙也是在十二世紀才傳到歐洲，雖然聰明的中國古人早在一千多年前，就已經掌握了這一門技術。
　　但是，古人為了滿足自己記錄的需要，也想辦法創造了一些工具。一種早期類似紙的書寫材料，稱為紙草片（Papyrus），是古代埃及人發明的，而且，公元前650年左右，已經傳入希臘。它是一種叫做紙草（papu）的蘆葦做的。把蘆葦的莖切成一條條細長的薄片，并排合成一張，一層層地往上放，完全用水浸濕，再将水擠壓出來，然後放到太陽地裡曬幹。也許由于植物中天然膠質，幾層粘到一起了。在紙草片幹了以後，再用圓的硬東西用力把它們壓平衡，這樣就能書寫了。用紙草片打草稿，就是一小片，也要花不少錢。
　　另一種早期的書寫材料是羊皮紙，是用動物（通常是羊和羊羔）皮做的。自然，這是稀有和難得的。更昂貴的是一種用牛犢皮做的仿羊皮紙，稱做犢皮紙。事實上，羊皮紙已經是非常昂貴的了。以緻中世紀出現一種習慣：洗去老羊皮手稿上的墨迹，然後再用。這樣的手稿，現在被稱做重寫羊皮紙。有這樣的情況：在若幹年後，重寫羊皮文件上最初寫的原稿又模糊地出現了。一些有趣的"修複"就是這樣做成的。
　　大約兩千年以前，羅馬人書寫用品是塗上薄薄一層蠟的小木闆和一支硬筆。在羅馬帝國之前和羅馬帝國時代，常用沙盤進行簡單的計算和畫幾何圖形。要推測更早的記錄工具，也并不困難。因為，毫無疑問，人們很早就用石頭和粘土做書寫記錄了。
印度和阿拉伯數系
　　我們現在常用的數字符号系統，是印度-阿拉伯數系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因為它可能是印度人發明的，又由阿拉伯人傳到西歐的。
　　目前，保存下來現在所用的數字符号的最早樣品是印度的一些石柱上發現的，這些石柱是公元前250左右烏索庫王建造的。至于其它在印度的早期樣品，如果解釋正确的話，則是從大約公元前100暝诳拷幟潛叩囊蛔繳系囊ざ辭繳峽滔碌募鍬賈瀉痛喲笤脊?00年在納西克窯洞中刻下的一些碑文中發現。這些早期樣本中既沒有零，也沒有采用位置記号。但是，考古學家推測，位置值（positionalvalue）和零，必定是公元800年以前的某個時刻傳到印度的，因為波斯數學家花拉子密在公元825年寫的一本書中描述過這樣一種完整的印度數系。
　　這些新的數字符号，最初是在"何時"和"如何"引進歐洲的，即使到了現在也還沒有弄清：但是考古學家認為，這些符号十之八九是由地中海沿岸的商人和旅行家們帶過來的。在十世紀西班牙書稿中就發現有這些符号，它們可能是由阿拉伯人傳到西班牙的。阿拉伯人在公元711年侵入了這個半島，直到1492年還在那裡。通過花拉子密的專著的十二世紀拉丁文譯本以及後來歐洲人的有關著作，這一完整的數系得到廣泛的傳播。
　　在十世紀以後的四百年中，提倡這數系的珠算家與算法家展開了競争，到公元1500年左右，我們現有的計算規則獲得優勢。在這以後的一百年中，珠算家幾乎被人遺忘，到了十八世紀在西歐就見不到算盤的蹤迹了。算盤作為一個奇妙的東西再次出現于歐洲，是法國幾何學家J·V·蓬斯菜（Poncelet）在拿破侖計伐俄國的戰争中當了俘擄，被釋放後，把一個算盤的樣品帶回了法國。
　　印度-阿拉伯數系中的數字符号曾多次變異，隻是由于印刷業的發展，才開始穩定下來的。英語中的zero（零）這個詞可能是從阿拉伯文sifr的拉丁化形式zephirum演變過來的；而阿拉伯文sifr又是從印度文中表示"無"和"空"的詞sunya翻譯過來。阿拉伯文sifr在十三世紀由奈莫拉裡烏斯（Nemorarius）引進到德國，寫作cifra，由此我們得到現在的字cipher（零）。

人身上的尺子
我們每個人身上都攜帶着幾把尺子。假如你“一拃”的長度為8厘米，量一下你課桌的長為7拃，則可知課桌長為56厘米。如果你每步長65厘米，你上學時，數一數你走了多少步，就能算出從你家到學校有多遠。身高也是一把尺子。如果你的身高是150厘米，那麼你抱住一棵大樹，兩手正好合攏，這棵樹的一周的長度大約是150厘米。因為每個人兩臂平伸，兩手指尖之間的長度和身高大約是一樣的。要是你想量樹的高，影子也可以幫助你的。你隻要量一量樹的影子和自己的影子長度就可以了。因為樹的高度＝樹影長×身高÷人影長。這是為什麼？等你學會比例以後就明白了。你若去遊玩，要想知道前面的山距你有多遠，可以請聲音幫你量一量。聲音每秒能走331米，那麼你對着山喊一聲，再看幾秒可聽到回聲，用331乘聽到回聲的時間，再除以2就能算出來了。學會用你身上這幾把尺子，對你計算一些問題是很有好處的。同時，在你的日常生活中，它也會為你提供方便的。

為什麼電子計算機要用二進制
由于人的雙手有十個手指，人類發明了十進位制記數法。然而，十進位制和電子計算機卻沒有天然的聯系，所以在計算機的理論和應用中難以暢通無阻。究竟為什麼十進位制和計算機沒有天然的聯系？和計算機聯系最自然的記數方法又是什麼呢?
這要從計算機的工作原理說起。計算機的運行要靠電流，對于一個電路節點而言，電流通過的狀态隻有兩個：通電和斷電。計算機信息存儲常用硬磁盤和軟磁盤，對于磁盤上的每一個記錄點而言，也隻有兩個狀态：磁化和未磁化。近年來用光盤記錄信息的做法也越來越普遍，光盤上海一個信息點的物理狀态有兩個：凹和凸，分别起着聚光和散光的作用。由此可見，計算機所使用的各種介質所能表現的都是兩種狀态，如果要記錄十進位制的一位數，至少要有四個記錄點（可有十六個信息狀态），但此時又有六個信息狀态閑置，這勢必造成資源和資金的大量浪費。因此，十進位制不适合于作為計算機工作的數字進位制。那麼該用什麼樣的進位制呢？人們從十進位制的發明中得到啟示：既然每種介質都是具有兩個狀态的，最自然的進位制當然是二進位制。
二進位制所需要的記數的基本符号隻要兩個，即0和1。可以用1表示通電，0表示斷電；或1表示磁化，0表示未磁化；或1表示凹點，0表示凸點。總之，二進位制的一個數位正好對應計算機介質的一個信息記錄點。用計算機科學的語言，二進位制的一個數位稱為一個比特（bit），8個比特稱為一個字節（byte）。
二進位制在計算機内部使用是再自然不過的。但在人機交流上，二進位制有緻命的弱點——數字的書寫特别冗長。例如，十進位制的100000寫成二進位制成為11000011010100000。為了解決這個問題，在計算機的理論和應用中還使用兩種輔助的進位制——八進位制和十六進位制。二進位制的三個數位正好記為八進位制的一個數位，這樣，數字長度就隻有二進位制的三分之一，與十進位制記的數長度相差不多。例如，十進位制的100000寫成八進位制就是303240。十六進位制的一個數位可以代表二進位制的四個數位，這樣，一個字節正好是十六進位制的兩個數位。十六進位制要求使用十六個不同的符号，除了0—9十個符号外，常用A、B、C、D、E、F六個符号分别代表（十進位制的）10、11、12、13、14、15。這樣，十進位制的100000寫成十六進位制就是186A0。
二進位制和八進位制、二進位制和十六進位制之間的換算都十分簡便，而采用八進位制和十六進位制又避免了數字冗長帶來的不便，所以八進位制、十六進位制已成為人機交流中常用的記數法。

一、百年前的講演
　　一個世紀前，德國數學家希爾伯特（1862—1943）在巴黎國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演。這是載入數學史冊的重要講演。他在講演的前言和結束語中，對數學的意義、源泉、發展過程及研究方法等發表了許多精辟的見解。而整個講演的主體，則是他根據19世紀數學研究的成果和發展趨勢而提出的23個數學問題，這些問題涉及現代數學的許多重要領域。100年來，這些問題一直激發着數學家們濃厚的研究興趣。100年過去了，這些問題近一半已經解決或基本解決，還有些問題雖取得了重大進展，但尚未最後解決，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。
　　100年過去了，現在回過頭來看，對希爾伯特提出的23個問題，有不少評論。很多人認為，這些問題對推動20世紀數學的發展起了很大的作用，當然也有評論曾指出其不足之處，例如，這23個問題中未能包括拓樸學、微分幾何等在20世紀成為前沿學科領域中的數學問題，除數學物理外很少涉及應用數學，等等，當然更不會想到20世紀電腦的大發展及其對數學的重大影響。20世紀數學的發展實際上遠遠超出了希爾伯特所預示的範圍。
　　希爾伯特是19世紀和20世紀數學交界線上高聳着的三位偉大數學家之一，另兩位是龐加萊（1854—1912）及克萊因（1849—1925）。他們的數學思想及對數學的貢獻，既反射出19世紀數學的光輝，也照耀着20世紀數學前進的道路。
　　希爾伯特是在上一次世紀交替之際作講演的，現在又一個新的世紀開始了，再來看看他的講演，其中一些話仍然适用，例如在講演一開始，他說：“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今後的世紀裡我們這門科學發展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數學思潮将追求什麼樣的特殊目标？在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀将會帶來什麼樣的新方法和新成果？”他還說：“曆史教導我們，科學的發展具有連續性。我們知道，每個時代都有它自己的問題，這些問題後來或者得以解決，或者因為無所裨益而被抛到一邊并代之以新的問題。因為一個偉大時代的結束，不僅促使我們追溯過去，而且把我們的思想引向那未知的将來。”
　　20世紀無疑是一個數學的偉大時代，21世紀的數學将會更加輝煌。“每個時代都有它自己的問題”，20世紀來臨時，希爾伯特提出了他認為是那個世紀的23個問題。這些問題對20世紀數學的發展起了很大的推動作用，但20世紀數學的成就卻遠遠超出他所提出的問題。那麼21世紀的問題又是什麼呢？希爾伯特在巴黎國際數學家大會上提出這些問題時，才38歲，但已經是當時舉世公認的德高望重的領袖數學家之一。大家知道，2002年國際數學家大會将在中國北京召開，這是國際數學家大會第一次在發展中國家召開，那麼在這新舊世紀交替之際，會不會有像希爾伯特這樣具有崇高威望的人在會上提出他認為的21世紀的數學問題或是以其他的形式展望21世紀的數學？這些年來，已有不少數學家提出自己認為的21世紀的數學問題，但往往是“仁者見仁，智者見智”。
　　二、百年前講演的啟示
　　對希爾伯特的23個問題，不在這裡介紹了，因為它超越了中學數學的範圍。但百年前，希爾伯特演講中對數學的一些見解卻是非常深刻的，百年過去了，重讀他的演講，依然得到很多啟示。在這裡我隻想講一講對他演講中一段話的粗淺認識。
　　從17世紀60年代微積分發明以來，數學得到了極大的發展，分支也愈來愈多。開始時一些大數學家對各個分支都懂，并且做出了很大的貢獻。但後來數學的分支愈分愈細，全面懂得各個分支的數學家愈來愈少，到19世紀末，希爾伯特作講演時，已經是這種情況。于是在講演中，他說了這樣一段話：“然而，我們不禁要問，随着數學知識的不斷擴展，單個的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個問題，我想指出：數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系着，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的、複雜的東西抛到一邊，數學科學發展的這種特點是根深蒂固的。因此，對于個别的數學工作者來說，隻要掌握了這些有力的工具和簡單的方法，他就有可能在數學的各個分支中比其他科學更容易地找到前進的道路。”100年過去了，數學發展得更為廣闊與深入，分支愈來愈多，現在數學已有60個二級學科、400多個三級學科，所以希爾伯特的這段話現在顯得更為重要。不僅如此，希爾伯特的這段話實際上講的是數學發展的曆史過程，十分深刻地揭示了數學發展是一個新陳代謝、吐故納新的過程，是一些新的有力的工具和更簡單的方法的發現，與一些陳舊的、複雜的東西被抛棄的過程，是“高級”的數學替代“低級”的數學的過程，而“數學科學發展的這種特點是根深蒂固的”。事實上，在數學的曆史中，一些新的有力的工具、更簡單的方法的發現，往往标志着一個或多個數學分支的産生，标志着一些老的分支的衰落甚至結束。
　　回顧一下我們從小開始學習數學的過程，就是在重複這個數學發展的過程。一些數學雖然後來被更有力的工具和更簡單的方法所産生的新的數學所替代了，即“低級”的被“高級”的所替代了，但在人們一生學習數學的過程中，卻不能隻學習“高級”的，而完全不學習“低級”的，完全省略掉學習“低級”的過程。這是因為人們随着年齡的不斷增長，學習與他的年齡與智力相當的數學才是最佳選擇。學習數學是一個循序漸進的過程，沒有“低級”的數學打好基礎，很難理解與學習好“高級”的數學。
　　以下我們從希爾伯特講演中這一段精辟的論述的角度來認識我們的中小學的數學課程。我隻是從數學發展的曆史的角度來讨論問題，為大家從數學教育的角度來讨論問題作參考。但我必須強調的是：從數學發展的曆史的角度來考慮問題與從數學教育的角度來考慮問題雖有聯系，但兩者是不一樣的。
　　三、算術與代數
　　人類有數的概念，與人類開始用火一樣古老，大約在30萬年前就有了，但是有文字記載的數到公元前3400年左右才出現，至于數的四則運算則更晚。在我國，《九章算術》是古代數學最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的衆多學者不斷修改、補充而成的一部數學著作。在這本書中有分數的四則運算法則、比例算法、盈不足術、解三元線性代數方程組、正負數、開方以及一些計算幾何圖形的面積與體積的方法等。在西方，也或遲或早地出現了這些内容，而這些内容包括我們從小學一直到中學所學習“算術”課程的全部内容。也就是說人類經過了幾千年才逐步弄明白建立起來的“算術”的内容，現在每個人在童年時代花幾年就全部學會了。對于“算術”來講，“真正的進展”是由于“更有力的工具和更簡單的方法的發現”，這個工具與方法是“數字符号化”，從而産生了另一門數學“代數”，即現在中學中的“代數”課程的内容。在我國，約13世紀五六十年代的著作中，有“天元術”和“四元術”，也就是相當于現在用x,y,z,w來表述四個未知數。有了這些“元”，也就可以解一些代數方程與聯立線性代數方程組了。西方徹底完成數字符号化是在16世紀。現在中學學習的“代數”的内容包括：一元二次方程的解，多元（一般為二元、三元，至多四元）聯立方程組的解，等等。當然在“數字符号化”之前，一元二次方程的解、多元聯立方程組的解已經出現，例如我國古代已經有一些解一般數字系數的代數方程的“算法程序”，但這些都是用文字來表達的，直到“數字符号化”之後，才出現了現在中學代數内容的表達形式。
　　由“數字符号化”而産生的中學“代數”的内容，的的确确是“數學中真正的進展”。“代數”的确是“更有力的工具和更簡單的方法”，“算術”顧名思義，可以理解為“計算的方法”，而“代數”可以理解為“以符号替代數字”，即“數字符号化”。人類從“算術”走向“代數”經曆了1000多年。但在中學的課程中，卻隻花短短的幾年，就可以全部學會這些内容。
　　回憶我在童年時代，在小學學習“算術”課程時，感到很難。例如求解“雞兔同籠”題，當時老師講的求解的方法，現在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是：雞與兔為何要關在一個籠子裡？既然數得清有多少個頭及多少隻腳，為何數不清有多少隻雞與多少隻兔？等到初中時學習了“代數”課程，才恍然大悟，這不過是二元一次聯立代數方程組，解方程組十分簡單方便，這不僅可以用來解“雞兔同籠”，即使“鴨狗同室”的問題一樣可以解。因此，“代數”顯然比“算術”來得“高級”，這的确是“更有力的工具和更簡單的方法”，而這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論，并把“陳舊的、複雜的東西抛到一邊”，也就是從“代數”的角度來理解“算術”，可以理解得更深刻，且可以把“算術”中一些複雜的、處理個别問題的方法抛到一邊去。
　　在這裡，我要重複說一遍，盡管中學的“代數”比小學的“算術”來得“高級”，是“更有力的工具與更簡單的方法”，但并不意味着小學的“算術”就可以不必學了，因為：（1）“算術”中的一些内容不能完全被“代數”所替代，如四則運算等；（2）即使能被替代的内容，适當地學習一些，有利于對“代數”内容的認識與理解；（3）從教育學的角度考慮，這裡有循序漸進的問題，有學生不同年齡段的接受能力的問題，等等。
　　作為中學“代數”中的一個重要内容是解多元一次聯立方程組。在中學“代數”的教材中，一般着重講二元或三元一次聯立方程組，所用的方法往往是消元法。但是，如果變元為四個或更多時，就得另想辦法來建立起多元一次聯立方程組的理論。經過很多年的努力，矩陣的想法産生了，這不但給出了多元一次聯立代數方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學科——“線性代數”。這是又一次“數學中真正的進展”，由于“更有力的工具和更簡單的方法”即“矩陣”的發現，不僅對多元一次聯立代數方程組的理解更為清楚，更為深刻，而且由于有了統一處理的方法，就可以把個别地處理方程組的方法“抛到一邊”。
　　中學“代數”中的另一個重要内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術》中已有解一般一元二次方程的方法，後來有很多的發展。直到19世紀，為了解決什麼樣的特殊的代數方程能用根式來求解這個問題，伽羅瓦（1811—1832）建立起“群”的概念。這就意味着現代代數理論的産生，這是又一次“數學中真正的進展”。有了“群”以及後來發展起來的現代代數理論，使人們可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數方程求根式解的問題。
數學曆史的啟示（下）
龔昇
　　四、幾何與三角
　　人類在很早的時候，就有各種計算面積與體積的公式或經驗，也得到了不少幾何定理，例如著名的畢達哥拉斯定理等。但在古代，幾何的代表作則是歐幾裡得的《原本》。現在中學裡學習的“平面幾何”與“立體幾何”的基本内容，是2300年前《原本》已有的内容。從《原本》問世以來，幾何領域一直是它的一統天下，這種現象持續了1000多年。“真正的進展”是由笛卡兒與費馬建立起的“解析幾何”，其基本思想是在平面上引進“坐标”，使得平面上的點與實數對（x,y）之間建立起一一對應的關系，于是幾何問題就可以用代數形式表達，而幾何問題的求解就歸化為代數問題的求解了。笛卡兒甚至還提出過一個大膽的計劃，即：
　　任何問題→數學問題→代數問題→方程求解。
　　“解析幾何”的産生可以理解為變量數學的開始，它為微積分的産生創造了條件。由于引進了坐标，幾何問題歸結為代數問題，于是可以用一些代數的工具與方法來處理，從而使幾何問題得解，這種思想與方法，使整個數學面目為之一新。
　　既然“解析幾何”是“數學中一步真正的進展”，“解析幾何”比起“平面幾何”與“立體幾何”都來得高級，那麼“平面幾何”與“立體幾何”是不是就不要學習了，直接學習“解析幾何”就可以了呢？從教育學的觀點，這顯然是不對的。我們所說的“把陳舊的、複雜的東西抛到一邊”，是指當“解析幾何”産生之後，那種用原來的方法來創造與發明幾何定理的時代已經過去了，雖然這種做法延續了1000多年，但這并不意味着可以将“平面幾何”與“立體幾何”“抛到一邊”。在中學必須學習“平面幾何”與“立體幾何”至少有以下幾點理由：（1）可以認識人們生活的三維歐氏空間中一些最基本的幾何關系與性質；（2）不學習“平面幾何”與“立體幾何”，就無法學習“解析幾何”與“微積分”；（3）“平面幾何”與“立體幾何”是訓練學生嚴格邏輯思維的最好的方法之一，這種訓練比上一門“形式邏輯”課更為有效，它對學生終生有用。當然中學“平面幾何”與“立體幾何”應講授多少内容是一個值得探讨的問題，完全取消是絕對錯誤的，但做過多的幾何難題似乎也是不必要的。
　　古典幾何的另一個“真正的進展”，則是“非歐幾何”的産生，這是數學史上的劃時代貢獻。
　　如前所述，歐幾裡得的《原本》從誕生直到18世紀末，在幾何領域，它是一統天下，幾乎成為“科學聖經”。但在同時，人們多認為五條公設中的前四條簡潔、明了，無可非議，而對第五公設，即“若一直線落在兩直線上所構成的同旁内角和小于兩直角，那麼把兩直線無限延長，它們将在同旁内角和小于兩直角的一側相交”，則感到它不像一條公設，而更像一條定理，即可以從其他公設、公理及定理中推導出來。
　　2000多年來，不知有多少數學家緻力于用其他的公設、公理及定理來證明第五公設，甚至有人為之付出了整個一生，但還是以失敗告終。直到19世紀，由高斯、波爾約及羅巴切夫斯基創立了“非歐幾何學”，才結束了這件公案。“非歐幾何學”一反過去人們試圖從其他公設、公理及定理來證明第五公設的做法，認為第五公設不可能從其他的公設、公理及定理中推導出來，而發展起第五公設不成立的新的幾何學。高斯稱之為“非歐幾裡得幾何學”，簡稱“非歐幾何學”。1854年黎曼在“非歐幾何學”的思想基礎上建立了更為廣泛的幾何學，即“黎曼幾何學”，開創了幾何學甚至整個數學的新紀元，而其發展更是一日千裡。衆所周知，愛因斯坦的相對論正是以“黎曼幾何”作為其數學工具的。
　　經曆了2000多年的思索與努力，“非歐幾何”的産生的确是“數學中一步真正的進展”，把已有的理論——歐幾裡得幾何學，從更高、更深的角度去理解，而把那些陳舊的思想——試圖用其他公設、公理及定理來證明第五公設的一切做法“抛到一邊”。
　　在中學數學課程中，還有一門叫“三角”。這門課程，主要讨論六個三角函數的相互關系及計算。人類對三角學的研究可以追溯到公元1～2世紀。當時的天文學研究，已經為三角學奠定了基礎，例如已經有了類似于正弦及正弦的表等。經過了幾百年的努力，到9～10世紀，三角函數的研究已系統化，到了13世紀，球面三角也基本完成。因此，現在中學學習的“三角學”，其内容基本上在千年前就形成了。
　　人們從更高、更深的角度來認識“三角學”，是由于複數的引入。人們對複數的思考由來已久，例如對方程x2＋1=0的根的思考，但人們認真地将虛數=i引入數學則是16世紀的事了。之後歐拉建立了著名的歐拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角學中的問題都可以化歸為複數來讨論，于是三角學中一大批問題得以輕松地解決。有了複數與歐拉公式，使人們對三角學的已有理論的理解更為深刻，并可以把一些原始的、複雜的處理三角學的方法與工具“抛到一邊”。
　　我還得重複一遍，盡管複數與歐拉公式比三角學來得“高級”，但并不意味着中學課程可以不學習三角學。事實上，三角學是一門實用的數學分支，在很多其他學科中都有用。
　　五、微積分
　　“微積分”實在是太重要了，不論你将來從事什麼工作，理、工、醫、農、文、商等等，都得學“微積分”。可以這樣說，中學課程中學習的各門數學，從某種意義上講正是為學習微積分作準備的，一切大學的數學課程也都是以微積分為基礎的。
　　微積分是從四個方面的問題來的：（1）求曲線的長度、區域的面積、物體的體積等；（2）求曲線的切線；（3）求運動物體的速度；（4）求一些問題的極大、極小值。
　　當然，這些問題在一些簡單的情形下，可以不用微積分，但當情形略為複雜一些時，則非用微積分不可。而反過來，微積分的誕生，不僅能解決上述這些問題，而且其用處大大地超出了這些問題。
　　微積分的一些原始的思想，可以追溯到很遠。例如，公元3世紀誕生的劉徽的“割圓術”就孕育着一些樸素的微積分的想法。但是，微積分的誕生是在牛頓及萊布尼茨建立了“微積分的基本定理”，即指出微分與積分互為逆運算之後。計算積分不再要像以前那樣想一些特殊的辦法進行逐個處理，而可以統一處理了，從而使微積分不再成為幾何學的一部分，而成為一門獨立的學科。
　　微積分的建立不僅使得數學的面貌徹底改變，而且将微積分應用到其他學科，使整個自然科學也徹底地改變了面貌。
　　牛頓與萊布尼茨的微積分基本定理的建立，促使了微積分的産生，的确是“數學中一步真正的進展”，的确是“更有力的工具和更簡單的方法的發現”。這不僅有助于我們對已有理論的理解，如使我們對前面提到的四個問題原有的理解，更為清楚與深刻，而且的确可以把以往“陳舊的、複雜的東西抛到一邊”，例如，對個别曲線用一些特殊的方法來計算其面積與切線的方法都可以抛棄了。
　　六、幾點啟示
　　（1）一門學科的産生往往有多方面的因素，我在這裡隻說了一個因素，而這個因素在我看來是主要因素之一。（2）一門學科對其他學科的影響也是多方面的，例如，中學的“代數”課程，從方程式的角度導緻了“線性代數”及“抽象代數”的産生，但從排列組合的角度導緻了組合數學的産生；又例如，“非歐幾何”的産生，引發了“幾何基礎”的深入讨論等。
　　從上面的論述中，我們已經發現，導緻“數學中一步真正的進展”的“更有力的工具和更簡單的方法”往往是由于看來是十分簡單明了的想法。如從算術走向代數，關鍵的一步是“數字符号化”，即将數字用a,b,c，…x,y,z來表示。但正是這簡單的一步，引發了“數學中一步真正的進展”，而人們認識到“數字符号化”，卻花了上千年的時間。同樣，由“平面幾何”“立體幾何”走向“解析幾何”，關鍵的一步是“引進坐标”，即将平面的點與數一一對應。現在看來這一步也是十分自然的，人們是樂于接受的，但正是這樣看似簡單的一步，引發了“數學中一步真正的進展”。對于其他的情形，也是一樣，不在此一一重複了。
　　仔細想想，“數字符号化”比算術中的一道難題可能更易于理解，“數字符号化”之後，解算術難題則輕而易舉。同樣“引入坐标”，比“平面幾何”中的一道難題的解可能更易于理解，“引入坐标”之後，解幾何難題則比較容易了。當然，“代數”比“算術”來得“高級”，“解析幾何”比“平面幾何”來得“高級”，可“高級”的反而容易，“低級”的反而難，這就是“高”“低”與“難”“易”之間的辯證關系。而更令人深思的是：重要的是要有創新的思想，“數字符号化”“引入坐标”這些看似簡單的想法，卻是創新思想。有了這種創新思想，才會有“數學中一步真正的進展”，否則即使是解決“算術”難題的能人，是做“平面幾何”難題的高手，如果無這種創新思想，那麼難題做得再多，也不可能引發“數學中一步真正的進展”。當然，這種創新思想來之不易，往往要經過幾百年乃至千年的積累才能形成。經過了長期的積累，走向成熟，就會有數學大師總結與提升前人的成果，進而提出這種創新的思想，這就是數學的曆史。
　　當然，我這樣說，并不是否定做一些算術或幾何的難題。從培養學生學習數學的能力來看，讓學生花太多的時間來做太多的難題當然不必要，但适當地讓學生做一些數學難題還是必要的，對培養學生的創新思想是有好處的，因為創新思想不是一天能培養出來的，要日積月累，有一個從量變到質變的過程。看看曆史上的那些大數學家，哪一位沒有做過難題？從教學的角度來看，問題是要适量。至于中小學教師，為了提高教學質量，對一些難題進行研究、分析與探讨，那是理所當然的事。從因材施教、提高同學們學習數學的興趣與能力的角度出發，來舉辦一些數學活動，如“數學競賽”等有意義的活動更是必要的了。從數學發展的曆史角度與從數學教育的角度來考慮問題終究是不一樣的。
　　如果以上算作數學曆史的一點啟示，那麼以下所說的也可以算作數學曆史的另一點啟示。
　　從上述的叙述中還可以看到，數學的曆史也像戰争史。“一将功成萬骨枯”！想想從歐幾裡得的《原本》誕生之後，幾千年來，不知有多少數學家前仆後繼地試圖用其他公設、公理及定理來證明第五公設。這些人都失敗了，他們都默默無聞，數學史上沒有記載他們的名字。但正是由于千千萬萬個無名的數學家的失敗，才導緻了高斯、波爾約、羅巴切夫斯基從另外的角度來處理這個問題。他們成功了，他們成了英雄，但他們的成功是在幾千年來千千萬萬個數學家失敗的基礎上獲得的，所以可以說是“一将功成萬骨枯”！
　　同樣自從二次、三次及四次一元代數方程式得到根式解後，幾百年來，也不知有多少數學家前仆後繼地試圖找到五次及更高次一元代數方程式的根式解，但他們都失敗了。這些人在數學史上默默無聞，誰也不會記起他們的名字，但他們的犧牲，導緻了拉格朗日、阿貝爾與伽羅瓦從新的角度來考察這個問題。他們成功了，名垂數學史，但他們的成功也是在幾百年來無數默默無聞的數學家失敗的基礎上獲得的。這也可說是“一将功成萬骨枯”！
　　這樣的例子還可以舉出很多。
　　這些數學的曆史，給我們以深刻的啟示：我們應該如何來選擇數學問題，如何來思考與處理數學問題，才能盡量避免不必要的犧牲，獲得成功。
　　百年前，希爾伯特在他那著名的講演中，用以下這段話作為結束語：“數學的有機統一，是這門科學固有的特點，因為它是一切精确自然科學知識的基礎，為了圓滿實現這個崇高的目标，讓新世紀給這門科學帶來天才的大師和無數熱誠的信徒吧！”我深信，21世紀一定會“給這門科學帶來天才的大師”，而且其中肯定有許多來自我們中國！

數九歌－北京

一九二九不出手；三九四九冰上走；

五九六九沿河看柳；七九河開八九雁來；

九九加一九，耕牛遍地走。

詩情數意

一、晚　霞　紅

太陽落山晚霞紅，我把鴨子趕回籠。

一半在外鬧哄哄，一半的一半進籠中。

剩下十五圍着我，共有多少請算清。