學好數學“絕對值”②
【絕對值的性質】
1.非負性
|a|≥0；若|a|+|b|+|c|=0，則a=b=c=0；若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0.
絕對值實為距離，絕對最小零距離。2.雙解性
若|a|=|b|，則a-b=0或a+b=0；
若|x-a|=b，則x=a+b或x=a-b.
絕對值實為距離，左右各一莫丢棄。3. 可分性
|ab|=|a||b|；|a/b|=|a|/|b|(b≠0).
絕對值實為距離，乘除運算可分離。
4.多變性
|a|=|-a|=√a²=√(-a)²；
|a-b|=|b-a|=√(a-b)²=√(b-a)²；
|a²|=|a|²=|-a²|=a².
5. 不等性
若|x|＜a(a＞0)，則-a＜x＜a；
若|x|＞a(a＞0)，則x＞a或x＜-a；
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(三角不等式)；
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(三角不等式).
6. 符号性
若|a+b|=|a|+|b|，則ab≥0； 若|a-b|=|a|+|b|，則ab≤0； 若|a+b|=|a|-|b|，則ab≤0; 若|a-b|=|a|-|b|，則ab≥0. 同加異減絕對值，絕對相加增吾志。 異加同減絕對值，絕對相減去無知。【例題剖析】
(1)|x+1|的最小值為____.
(2) |x+1|+|x-2|的最小值為____.
(3)|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值為____.
(4) 2|x+1|+|x-2|的最小值為____.
(5)|x+1|+2|x-2|的最小值為____.
(6) 1.5|x+1|+2.5|x-2|的最小值為____.
(7) 2.5|x+1|+1.5|x-2|的最小值為____.
(8) |x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值為____.
(9) 2|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值為____.
【題目解析】
(1) 當x+1=0，即x=-1時，|x+1|取得最小值0；
(2) 當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|取得最小值3；
(3) 當x=2時，|x+1|+|x-2|+|x-3|取得最小值4；
(4) 2|x+1|+|x-2|=|x+1|+|x+1|+|x-2|，
當x=-1時，2|x+1|+|x-2|取得最小值3；
(5)|x+1|+2|x-2|=|x+1|+|x-2|+|x-2|，
當x=2時，|x+1|+2|x-2|取得最小值3；
(8)當2≤x≤3時，
|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值6.
(9)因為2|x+1|+|x-2|+|x-3|
=|x+1|+|x+1|+|x-2|+|x-3|，
所以當-1≤x≤2時，
|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|取得最小值7.
【實戰演練】
(1)|x+1|+|2x+4|的最小值為____；
(2) |2x+1|+|3x-6|的最小值為____；
(3)若|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則a的值為____;
(4)若|x+1|+|2x+a|≥3，則a的取值範圍是____；
(5)若|2x+1|+|ax-6|的最小值為4，則a的值為____.
【題目解析】
(1) 當2x+4=0，即x=-2時， |x+1|+ |2x+4| 取得最小值1； (2) 當 3x-6=0，即x=2時， |2x+1|+ |3x-6| 取得最小值5；TheEnd,Byebye!
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