高中數學：函數對稱性相關題型解析
講函數的對稱性主要是講奇偶函數圖像的對稱性，函數與反函數圖像的對稱性。前者是函數自身的性質，而後者是函數的變換問題。下文中我們均簡稱為函數的變換性。現通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱變換這兩個方面來介紹函數對稱性有關的性質。
1. 函數自身的對稱性設函數
，
，且在閉區間［0，7］上隻有
（1）試判斷函數
的奇偶性；（2）試求方程
在閉區間［－2005，2005］上根的個數并證明你的結論。分析：由
可得：函數圖象既關于x＝2對稱，又關于x＝7對稱，進而可得到周期性，然後再繼續求解，而本題關鍵是要首先明确函數的對稱性，因此，熟悉函數對稱性是解決本題的第一步。
定理1函數
的圖像關于直線x＝a對稱的充要條件是
即
證明（略）
推論函數
的圖像關于y軸對稱的充要條件是
定理2函數
的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是
證明（略）
推論函數
的圖像關于原點O對稱的充要條件是
偶函數、奇函數分别是定理1，定理2的特例。
定理3①若函數
的圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（
），則
是周期函數，且
是其一個周期。②若函數
的圖像同時關于直線
成軸對稱（
），則
是周期函數，且
是其一個周期。③若函數
的圖像既關于點A（a，c）成中心對稱又關于直線x＝b成軸對稱（
），則
是周期函數，且
是其一個周期。以下給出③的證明，①②的證明留給讀者。因為函數
的圖像關于點A（a，c）成中心對稱。所以
代
得：
又因為函數
的圖像關于直線
成軸對稱。所以
代入（*）得：
得
代入（**）得：
是周期函數，且
是其一個周期。
2. 不同函數對稱性 定理4函數
的圖像關于點
成中心對稱。
證明：設點
圖像上任一點，則
。點
關于點
的對稱點為
，此點坐标滿足
，顯然點
在
的圖像上。同理可證：
圖像上關于點
對稱的點也在
的圖像上。
推論函數
與
的圖像關于原點成中心對稱。
定理5函數
與
的圖像關于直線
成軸對稱。
證明設點
是
圖像上任意一點，則
。點
關于直線
的對稱點為
，顯然點
在
的圖像上。同理可證：
圖像上關于直線
對稱的點也在
圖像上。
推論函數
與
的圖像關于直線y軸對稱。
定理6①函數
與
的圖像關于直線
成軸對稱。②函數
與
的圖像關于直線
成軸對稱。現證定理6中的②設點
是
圖像上任一點，則
。記點
關于直線
的對稱點
，則
，所以
代入
之中得
。所以點
在函數
的圖像上。同理可證：函數
的圖像上任一點關于直線
的軸對稱點也在函數
的圖像上。故定理6中的②成立。
推論函數
的圖像與
的圖像關于直線
成軸對稱。3. 函數對稱性應用舉例例1 定義在R上的非常數函數滿足：
為偶函數，且
，則
一定是（ ）A. 是偶函數，也是周期函數B. 是偶函數，但不是周期函數C. 是奇函數，也是周期函數D. 是奇函數，但不是周期函數解：因為
為偶函數，所以
。所以
有兩條對稱軸
，因此
是以10為其一個周期的周期函數，所以x＝0即y軸也是
的對稱軸，因此
還是一個偶函數。故選（A）。例2 設定義域為R的函數
、
都有反函數，并且
和
的函數圖像關于直線
對稱，若
，那麼
（ ）A. 2002B. 2003C. 2004D. 2005解：因為
的函數圖像關于直線
對稱，所以
的反函數是
，而
的反函數是
，所以
，所以有
故
，應選（C）。例3 設
是定義在R上的偶函數，且
，當
時，
，則
___________解：因為f(x)是定義在R上的偶函數，所以
的對稱軸；又因為
的對稱軸。故
是以2為周期的周期函數，所以
例4 函數
的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）
的圖像的所有對稱軸的方程是
，所以
，顯然取
時的對稱軸方程是
，故選（A）。例5 設
是定義在R上的奇函數，且
的圖象關于直線
，則：
_____________解：函數
的圖像既關于原點對稱，又關于直線
對稱，所以周期是2，又
，圖像關于
對稱，所以
，所以
1. 函數自身的對稱性設函數
，
，且在閉區間［0，7］上隻有
（1）試判斷函數
的奇偶性；（2）試求方程
在閉區間［－2005，2005］上根的個數并證明你的結論。分析：由
可得：函數圖象既關于x＝2對稱，又關于x＝7對稱，進而可得到周期性，然後再繼續求解，而本題關鍵是要首先明确函數的對稱性，因此，熟悉函數對稱性是解決本題的第一步。
定理1函數
的圖像關于直線x＝a對稱的充要條件是
即
證明（略）
推論函數
的圖像關于y軸對稱的充要條件是
定理2函數
的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是
證明（略）
推論函數
的圖像關于原點O對稱的充要條件是
偶函數、奇函數分别是定理1，定理2的特例。
定理3①若函數
的圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（
），則
是周期函數，且
是其一個周期。②若函數
的圖像同時關于直線
成軸對稱（
），則
是周期函數，且
是其一個周期。③若函數
的圖像既關于點A（a，c）成中心對稱又關于直線x＝b成軸對稱（
），則
是周期函數，且
是其一個周期。以下給出③的證明，①②的證明留給讀者。因為函數
的圖像關于點A（a，c）成中心對稱。所以
代
得：
又因為函數
的圖像關于直線
成軸對稱。所以
代入（*）得：
得
代入（**）得：
是周期函數，且
是其一個周期。
2. 不同函數對稱性 定理4函數
的圖像關于點
成中心對稱。
證明：設點
圖像上任一點，則
。點
關于點
的對稱點為
，此點坐标滿足
，顯然點
在
的圖像上。同理可證：
圖像上關于點
對稱的點也在
的圖像上。
推論函數
與
的圖像關于原點成中心對稱。
定理5函數
與
的圖像關于直線
成軸對稱。
證明設點
是
圖像上任意一點，則
。點
關于直線
的對稱點為
，顯然點
在
的圖像上。同理可證：
圖像上關于直線
對稱的點也在
圖像上。
推論函數
與
的圖像關于直線y軸對稱。
定理6①函數
與
的圖像關于直線
成軸對稱。②函數
與
的圖像關于直線
成軸對稱。現證定理6中的②設點
是
圖像上任一點，則
。記點
關于直線
的對稱點
，則
，所以
代入
之中得
。所以點
在函數
的圖像上。同理可證：函數
的圖像上任一點關于直線
的軸對稱點也在函數
的圖像上。故定理6中的②成立。
推論函數
的圖像與
的圖像關于直線
成軸對稱。3. 函數對稱性應用舉例例1 定義在R上的非常數函數滿足：
為偶函數，且
，則
一定是（ ）A. 是偶函數，也是周期函數B. 是偶函數，但不是周期函數C. 是奇函數，也是周期函數D. 是奇函數，但不是周期函數解：因為
為偶函數，所以
。所以
有兩條對稱軸
，因此
是以10為其一個周期的周期函數，所以x＝0即y軸也是
的對稱軸，因此
還是一個偶函數。故選（A）。例2 設定義域為R的函數
、
都有反函數，并且
和
的函數圖像關于直線
對稱，若
，那麼
（ ）A. 2002B. 2003C. 2004D. 2005解：因為
的函數圖像關于直線
對稱，所以
的反函數是
，而
的反函數是
，所以
，所以有
故
，應選（C）。例3 設
是定義在R上的偶函數，且
，當
時，
，則
___________解：因為f(x)是定義在R上的偶函數，所以
的對稱軸；又因為
的對稱軸。故
是以2為周期的周期函數，所以
例4 函數
的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）
的圖像的所有對稱軸的方程是
，所以
，顯然取
時的對稱軸方程是
，故選（A）。例5 設
是定義在R上的奇函數，且
的圖象關于直線
，則：
_____________解：函數
的圖像既關于原點對稱，又關于直線
對稱，所以周期是2，又
，圖像關于
對稱，所以
，所以
假期彎道超車必備佳文:
你可能想看：
上一篇
開天門功法
下一篇
中華自然療法 膏藥療法
最新文章
-
太師修行問答48：人生隻是演戲瑜伽也能修禅，能達到幾禅
7分鐘前 -
![[書法]閑暇草書彙03](https://m.74hao.com/zb_users/upload/2024/10/202410161729086639361289.png)
[書法]閑暇草書彙03
24分鐘前 -
3D技巧：兩碼和差選号法
46分鐘前 -
“落日無情最有情，遍催萬樹暮蟬鳴”楊萬裡詩五首，風格清新自然
1小時前 -
《玄理賦》五行生克的太過不及 等
1小時前 -
《老山1984-1989，中越老山之戰實錄》連載之二：118團8連收敲掉54
2小時前 -
攝影：故鄉的秋色（2）
2小時前 -
論入宅歸火擇吉（續）第二，坐向要吉 坐向要吉，主要是指所選日課
2小時前
有話要說...