專題01 中考數學初中數學複習考點精講熱考題型專項訓練有理數（解析版）

專題01 有理數

【思維導圖】

【知識要點】

知識點一 有理數基礎概念

n 有理數（概念理解）

正數：大于0的數叫做正數。

負數：正數前面加上符号“-”的數叫負數。

有理數的分類（兩種）（見思維導圖）

n 數軸

規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

ü 數軸的三要素：原點、正方向、單位長度（重點）

任何有理數都可以用數軸上的點表示。

ü 數軸上的點表示的數從左到右依次增大；原點左邊的數是負數，原點右邊的數是正數.

【注意】

1. 數軸是一條直線，可向兩段無限延伸。

2. 在數軸上原點，正方向，單位長度的選取需根據實際情況而定。

n 相反數

隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數.（絕對值相等，符号不同的兩個數叫做互為相反數）

n 絕對值

絕對值的概念：一班數軸上表示a的數與原點之間的距離叫做數a的絕對值。

絕對值的意義：

正數的絕對值是它本身；

負數的絕對值是它的相反數；

0的絕對值是0。

（互為相反數的兩個數的絕對值相等。）

n 比較大小

1）數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。

2）正數大于0，負數小于0，正數大于負數。

3）

4）兩個正數比較，絕對值大的反而大。

常用方法：數軸比較法、差值比較法、商值比較法、絕對值比較法等。

知識點二 有理數四則運算

n 有理數的加法（重點）

有理數的加法法則：（先确定符号，再算絕對值）

1.同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；

2.異号兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

3.互為相反數的兩個數相加得0；（如果兩個數的和為0，那麼這兩個數互為相反數）

4.一個數同0相加，仍得這個數。

有理數的加法運算律：

加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

即；

加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。

即。

n 有理數的減法

有理數的減法法則：

減去一個數等于加上這個數的相反數。即。

注：兩個變化：減号變成加号；減數變成它的相反數。

n 有理數的加減混合運算

規則：運用減法法則将加減混合運算統一為加法進行運算

步驟：（1）減法化加法；

（2）省略括号和加号；

（3）運用加法運算律使計算簡便；

（4）運用有理數加法法則進行計算。

注：運用加法運算律時，可按如下幾點進行：

（1）同号的先結合；

（2）同分母的分數或者比較容易通分的分數相結合；

（3）互為相反數的兩數相結合；

（4）能湊成整數的兩數相結合；

（5）帶分數一般化為假分數或者分為整數和分數兩部分，再分别相加。

n 有理數的乘法（重點）

有理數的乘法法則：

（1）兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘。

（2）任何數同0相乘，都得0.

倒數：乘積是1的兩個有理數互為倒數。0沒有倒數。（數的倒數是）

多個有理數相乘的法則及規律：

（1） 幾個不是0的數相乘，負因數的個數是奇數時，積是負數；

負因數的個數是偶數時，積是正數。

确定符号後，把各個因數的絕對值相乘。

（2）幾個數相乘，有一個因數為0，積為0；反之，如果積為0，那麼至少有一個因數是0.

注：帶分數與分數相乘時，通常把帶分數化成假分數，再與分數相乘。

n 有理數的乘法運算律

乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。

即。

乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把後兩個數相乘，積相等。

即。

乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分别同這兩個數相乘，再把積相加。

即。

n 有理數的除法

有理數除法法則：

（1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的倒數。即。

（2）兩數相除（被除數不為0），同号得正，異号得負，并把絕對值相除。

0除以任何不為0的數，都得0。

步驟：先确定商的符号，再算出商的絕對值。

n 有理數的乘除混合運算

運算順序：從左往右進行，将除法化成乘法後，進行約分計算。

（注：帶分數應首先化為假分數進行運算）

n 有理數的四則混合運算

運算順序：先乘除，後加減，有括号要先算括号裡面的。

注：除法一般先化為乘法，帶分數化為假分數，合理使用運算律

知識點三 有理數的乘方

n 乘方（重點）

一般地，個相同的因數相乘，即，記作，讀作的次方。求個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做幂。

在中，叫做底數，叫做指數。讀作的次方，也可以讀作的次幂。

當底數為分數時，要先用括号将底數括上，再在其右上角寫指數，指數要寫的小些。

乘方的規律：

負數的奇次幂是負數，負數的偶次幂是正數。

正數的任何次幂都是正數，0的任何正整數次幂都是0.

有理數乘方的運算方法：

1. 根據乘方的符号規律确定結果的符号。

2. 計算結果的絕對值。

n 有理數的混合運算

運算順序：（1）先乘方，再乘除，最後加減；

（2）同級運算,從左到右進行；

（3）如有括号，先算括号裡的，按小括号、中括号、大括号的順序。

n 科學記數法

把一個大于10的數記成的形式，其中是整數數位隻有一位的數（即），是正整數，這樣的記數方法叫科學記數法。（用科學記數法表示一個數時，10的指數比原數的整數位數少1.）

把還原成原數時，隻需把的小數點往前移動位。

n 近似數和有效數字

在實際問題中，由“四舍五入”得到的數或大約估計的數都是近似數。（近似數小數點後的末位數是0的，不能去掉0.）

一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字。一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數字。

精确度：表示一個近似數與準确數的接近程度。一個近似數，四舍五入到哪一位，就稱這個數精确到哪一位。

【考查題型】

考查題型一 有理數概念理解

【解題思路】理解有理數的定義，熟練掌握與正确理解有理數的分類是解題的關鍵。

典例1．（西安一模）在，，1.62，0四個數中，有理數的個數為（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【提示】根據有理數的定義，即可解答．

【詳解】在，，1.62，0四個數中，有理數為，1.62，0，共3個，故選：B．

變式1-1．（南京市模拟）設 a 是最小的自然數，b 是最大的負整數，c 是絕對值最小的有理數，a，b，c 三個數的和為（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．不存在

【答案】A

【提示】先根據題意得到a、b、c的值，再相加即可得到結果.

【詳解】解：由題意得a=0,b=-1，c=0，則a+b+c=-1，

故選A.

變式1-2．（濱州市期末）在下列實數：、、、、、﹣0.0010001中，有理數有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【答案】D

【提示】由題意根據有理數的定義：整數與分數統稱有理數，進行提示即可判斷．

【詳解】

解：∵＝3，＝4，

∴，，，﹣0.0010001是有理數，其它的是無理數．

有理數有4個.

故選：D．

考查題型二 用數軸上的點表示有理數

【解題思路】在數軸上，原點左邊的點表示的是負數，原點右邊的點表示的是正數，右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大.

典例2．（興化市模拟）如圖，數軸上兩點A,B表示的數互為相反數，則點B表示的（ ）

A．-6 B．6 C．0 D．無法确定

【答案】B

【解析】－6的相反數是6，A點表示－6，所以，B點表示6.故選答案B.

變式2-1．（三門峽市模拟）如圖，數軸上蝴蝶所在點表示的數可能為（ ）

A．3 B．2 C．1 D．－1

【答案】D

【提示】直接利用數軸得出結果即可．

【詳解】解：數軸上蝴蝶所在點表示的數可能為-1，故選D．

【點睛】

本題考查了有理數與數軸上點的關系，任何一個有理數都可以用數軸上的點表示，在數軸上，原點左邊的點表示的是負數，原點右邊的點表示的是正數，右邊的點表示的數比左邊的點表示的數大.

變式2-2．（福建中考真題）如圖，數軸上兩點所對應的實數分别為，則的結果可能是（ ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【提示】根據數軸确定和的範圍，再根據有理數的加減法即可做出選擇．

【詳解】解：根據數軸可得＜＜1，＜＜，則1＜＜3。故選：C

【點睛】

本題考查的知識點為數軸，解決本題的關鍵是要根據數軸明确和的範圍，然後再确定的範圍即可．

考查題型三 求一個數的相反數

【解題思路】理解相反數的概念

典例3．（吉林中考真題）﹣6的相反數是（　　）

A．﹣6 B．﹣ C．6 D．

【答案】C

【提示】根據相反數的定義，即可解答．

【詳解】−6的相反數是：6，故選C.

變式3-1．（杭州市模拟）A，B是數軸上兩點，線段AB上的點表示的數中，有互為相反數的是（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根據互為相反數的兩個數到原點的距離相等，并且在原點的兩側，可知隻有B答案正确．故選B．

變式3-2．（山東濱州市·中考真題）下列式子中，正确的是（　　）

A．|﹣5|=﹣5 B．﹣|﹣5|=5 C．﹣（﹣5）=﹣5 D．﹣（﹣5）=5

【答案】D

【解析】

試題解析：A. |﹣5|=5，故原選項錯誤；

B. ﹣|﹣5|=-5，故原選項錯誤；

C. ﹣（﹣5）=5，故原選項錯誤；

D. ﹣（﹣5）=5，故正确.

故選D.

考查題型四 求一個數的絕對值

【解題思路】一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．

典例4．（甘肅蘭州市·中考真題）的絕對值是（ ）

A． B．2020 C． D．

【答案】B

【提示】根據絕對值的定義直接解答．

【詳解】解：根據絕對值的概念可知：|−2020|＝2020，故選：B．

變式4-1．（河北模拟）的值為（ ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【提示】根據絕對值的性質進行計算，即可得到答案.

【詳解】解：．故選：B．

變式4-2．（北碚區模拟）已知，，且，則的值為（ ）

A．1或7 B．1或-7 C．±1 D．±7

【答案】D

【提示】根據絕對值的意義，結合，求出a、b的值，然後即可得到答案．

【詳解】

解：∵，，

∴，，

∵，

∴，或，；

∴；

或；

∴；

故選：D．

考查題型五 有理數比較大小

【解題思路】理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數，絕對值大的其值反而小。

典例5．（河北模拟）在0，﹣1，0.5，（﹣1）²四個數中，最小的數是（　　）

A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）²

【答案】B

【提示】有理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數，絕對值大的其值反而小，據此判斷即可．

【詳解】

解：根據有理數比較大小的方法，可得

﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）²，

∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）²四個數中，最小的數是﹣1．

故選B．

變式5-1．（江西南昌市模拟）有理數，在數軸上所對應的點的位置如圖，下列說法正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【提示】根據相反數的定義大緻标出和的位置,再根據數軸上右邊的數總大于左邊的數來逐一判斷即可.

【詳解】解:在數軸上大緻标出和的位置,如下圖,

可得,故A項錯誤;

,故B項錯誤;

,故C項錯誤;

,故D項正确.

故選:D.

變式5-2．（沈陽市模拟）如圖，四個有理數在數軸上的對應點M，P，N，Q，若點M，N表示的有理數互為相反數，則圖中表示絕對值最小的數的點是（ ）

A．點M B．點N C．點P D．點Q

【答案】C

【解析】∵點M，N表示的有理數互為相反數，∴原點的位置大約在O點，∴絕對值最小的數的點是P點，故選C．

考查題型六 有理數的加減乘除混合運算

【解題思路】針對有理數的混合運算，掌握有理數的運算順序和各個運算法則是解題關鍵．

典例6．（新疆中考真題）計算：．

【答案】

【詳解】

解：

變式6-1．（廣西中考真題）計算：．

【答案】-5

【詳解】

．

變式7-2．（浙江模拟）計算：

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）8；（2）-44；（3）；（4）

【提示】

（1）根據有理數的減法法則和加法法則計算即可；

（2）根據有理數的乘法法則、除法法則和減法法則計算即可；

（3）根據乘法分配律和各個運算法則計算即可；

（4）根據有理數的運算順序和各個運算法則計算即可．

【詳解】

解：（1）

=

=

=

=8

（2）

=

=

=

=-44

（3）

=

=

=

（4）

=

=

=

考查題型七 科學記數法

【解題思路】科學記數法的表示形式為a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．确定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數．

典例7．（甘肅蘭州市中考真題）據發布年度中國共享經濟發展報告顯示，截止2017年12月，共有190家共享經濟平台獲得億元投資，數據億元用科學記數法可表示為　　

A．元 B．元

B．C．元 D．元

【答案】C

【詳解】億=115956000000，所以億用科學記數法表示為1.15956×10¹¹，

故選C．

變式7-1．（北京中考真題）2020年6月23日，北鬥三号最後一顆全球組網衛星從西昌發射中心發射升空，6月30日成功定點于距離地球36000公裡的地球同步軌道．将36000用科學記數法表示應為（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【提示】科學記數法的表示形式為a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．當原數絕對值大于1時，n是正數；當原數絕對值小于1時，n是負數．

【詳解】解：36000=，故選：C．

變式7-2．（山東濟南市·中考真題）2020年6月23日，我國的北鬥衛星導航系統（BDS）星座部署完成，其中一顆中高軌道衛星高度大約是21500000米．将數字21500000用科學記數法表示為（　　）

A．0.215×10⁸ B．2.15×10⁷

C．2.15×10⁶ D．21.5×10⁶

【答案】B

【詳解】解：将21500000用科學記數法表示為2.15×10⁷，故選：B．