趣味幾何｜逆推問題尋思路，巧妙構造“手拉手”
已知，△ABC和△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，DA=DE，CA=CB，連接BE，點O是BE的中點，連接OD，OC，求證：OD=OC且OD⊥OC。
分析：由題意，可以看到兩個等腰直角三角形，相信很多同學第一時間反應是“手拉手”模型，可是與“手拉手”模型的差别在于缺少了一個底邊所對應頂點共點的條件，所以這個時候我們就可以去想想能不能構造“手拉手”模型。那麼看所證明的問題，不難發現△OCD同樣是個等腰直角三角形，然而這個等腰直角三角形同樣沒有達到“手拉手”的條件，但是我們發現△OCD的底角的頂點與另外兩個三角形的底邊頂點共點，當這個時候，其實我們就可以去構造“手拉手”模型，如下圖：
我們将△OCD沿着OC翻折，就得到了一個△CDF與△CAB的“手拉手”模型，其實這道題沿着OD翻折也可以組成一個“手拉手”模型，我們這裡隻選取一個例子來講解。到了這一步，我們是根據問題來得到了一個模型，那麼我們隻要證明得到這是一個“手拉手”模型，這道題就解決了。所以既然是“手拉手”模型，肯定需要把等腰直角三角形的底角上的頂點交叉相連構造全等：
連接BF，隻要證明得到△BFC≌△ADC，那麼現在這兩個三角形，暫時我們隻有條件BC=AC，其他的條件都沒有，所以這個時候就應該去發現突破口，哪些是突破口呢，那就要好好留意題目了，題目中我們是否有一些條件到目前為止都沒有用上，很顯然，O是BE的中點肯定是有所用途的，那麼這個點我們同樣不難發現也是DF的中點，兩條線段共中點，肯定會有一組全等三角形出現：
如圖，△BOF≌△EOD（SAS），所以BF=DE=AD，就為△BCF和△ACD提供了第二個條件。至此，我們還差一個條件就能證明△BCF≌△ACD，有了兩條邊，我們證明三角形全等，需要兩條邊的就隻有SSS和SAS，而這組三角形的第三條邊明顯是我們想要得到的結論，所以就隻能通過SAS證明全等，既找其夾角∠CBF=∠CAD：
那麼在倒角的過程當中，我們要善于去發現所求的角與我們已知角之間的數量關系，這裡很明顯∠CBF=45°-∠OBF-∠ABE，而同樣的在△ABE中，∠CAD=180°-∠OED-∠ABE-3×45°=45°-∠OED-∠ABE，又因為∠OBF=∠OED，所以∠CBF=∠CAD，至此，這道題就解決了。
備注：這裡就得注意這是我們逆推的思路，而我們在實際證明當中，盡量不用翻折和旋轉，這樣就可以避免出現三點共線的證明。
解答：倍長DO至點F，連接BF，CF，CD。
∵O是BE，DF的中點
∴在△OFB與△ODE中：
△OFB≌△ODE（SAS）
∴BF=DE，∠OBF=∠OED
又∵DE=AD
∴BF=AD
又∵AC=BC，CD=CF
在△ABE中：∠CAD=180°-∠OED-∠ABE-3×45°=45°-∠OED-∠ABE
=45°-∠OBF-∠ABE
=∠CBF
∴在△BCF與△ACD中：
△BCF≌△ACD（SAS）
∴CD=CF，∠DCF=∠ACD+∠DCA=∠ACD+∠BCF=90°
既△DCF是等腰直角三角形
又∵OC是△DCF斜邊上的中線
∴OC=OD，且OC⊥OD（三線合一）
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